Uma urna contém 10 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. Cada bola retirada é reposta, juntamente com cinco bolas da mesma cor. Qual é a probabilidade de saírem nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E nesta ordem: 1 preta, uma vermelha, uma preta, 1 vermelha? Dado que a primeira bola é preta, qual é a probabilidade de que a segunda seja preta?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (tirei todos os números do enunciado):
  • A urna começa com \,10 bolas pretas e \,5 bolas vermelhas.
  • A cada retirada, a bola é reposta e, além disso, são acrescentadas \,5 bolas da mesma cor (ou seja, reforço de \,5).
  • Perguntas:
    1. Qual a probabilidade de saírem, nessa ordem, preta, preta, vermelha, vermelha? (sequência B,B,R,R).
    2. Qual a probabilidade de saírem, nessa ordem, preta, vermelha, preta, vermelha? (sequência B,R,B,R).
    3. Dado que a primeira bola é preta, qual a probabilidade de que a segunda seja preta?

Passo 2

Como vamos resolver (idéia e regra que vamos usar).
  • Aqui é um problema de probabilidades condicionais em sequência: a probabilidade de cada retirada depende da composição atual da urna. A regra prática é simples e muito útil: no passo i a probabilidade de tirar uma bola de certa cor é o número atual de bolas dessa cor dividido pelo número total atual de bolas. Depois de retirar e repor com reforço, atualiza-se a contagem e segue para o próximo passo.
  • Para organizar: chamo inicialmente \,B_0=10 o número de pretas iniciais, \,R_0=5 o número de vermelhas iniciais e \,r=5 o reforço (quantas bolas da mesma cor são adicionadas após cada retirada). O total inicial é \,T_0=B_0+R_0=15.
  • Regra passo a passo (fórmula prática): se até antes do passo i já ocorreram k pretas e m vermelhas (com k+m=i-1), então no passo i
    a probabilidade de sair preta é \frac{B_0 + r\cdot k}{T_0 + r\cdot(i-1)}e a probabilidade de sair vermelha é \frac{R_0 + r\cdot m}{T_0 + r\cdot(i-1)}.
  • Vamos aplicar essa regra passo a passo para cada sequência.

Passo 3

Calcular a probabilidade da sequência B,B,R,R (preta, preta, vermelha, vermelha), seguindo a regra passo a passo.
  • Passo 1 (tirar preta): há \,B_0=10 pretas em um total \,T_0=15, então P_1 = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}.
  • Após retirar e repor com reforço \,r=5 bolas pretas, a urna fica com \,10+5=15 pretas e \,5 vermelhas; total \,20.
  • Passo 2 (tirar preta novamente): agora P_2 = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}.
  • Após o segundo preto e reforço, a urna fica com \,15+5=20 pretas e \,5 vermelhas; total \,25.
  • Passo 3 (tirar vermelha): agora P_3 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}.
  • Após essa vermelha e reforço, a urna fica com \,20 pretas e \,5+5=10 vermelhas; total \,30.
  • Passo 4 (tirar vermelha): agora P_4 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}.
  • A probabilidade da sequência B,B,R,R é o produto dos P_i: P(B,B,R,R)=P_1\cdot P_2\cdot P_3\cdot P_4 =\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{3}.
  • Simplificando passo a passo: \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{10}, \qquad \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{30}.
  • Portanto P(B,B,R,R)=\frac{1}{30}.

Passo 4

Calcular a probabilidade da sequência B,R,B,R (preta, vermelha, preta, vermelha), passo a passo.
  • Passo 1 (tirar preta): igual ao caso anterior, P_1 = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}.
  • Após isso a urna fica com \,15 pretas e \,5 vermelhas; total \,20.
  • Passo 2 (tirar vermelha): agora P_2 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}.
  • Após essa vermelha e reforço, a urna fica com \,15 pretas e \,10 vermelhas; total \,25.
  • Passo 3 (tirar preta): agora P_3 = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}.
  • Após esse preto e reforço, a urna fica com \,20 pretas e \,10 vermelhas; total \,30.
  • Passo 4 (tirar vermelha): agora P_4 = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}.
  • Produto: P(B,R,B,R)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{3}.
  • Simplificando: \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6}, \qquad \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{1}{10}, \qquad \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{30}.
  • Portanto P(B,R,B,R)=\frac{1}{30}.
  • Observação intuitiva (curiosa e útil para a prova): as duas sequências têm a mesma probabilidade porque ambas têm exatamente \,2 pretas e \,2 vermelhas em quatro retiradas; nesse modelo (urnas do tipo Pólya) a probabilidade de uma sequência depende somente do número de cada cor e não da ordem — por isso todas as ordens com dois B e dois R terão a mesma probabilidade.

Passo 5

Calcular a probabilidade condicional: dado que a primeira é preta, qual a probabilidade da segunda ser preta?
  • Se já sabemos que a primeira foi preta, então imediatamente após essa retirada e o reforço a urna tem \,10+5=15 pretas e \,5 vermelhas; total \,20.
  • Portanto a probabilidade condicional é simplesmente P(\text{2ª = preta} \mid \text{1ª = preta}) = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}.ªª
  • (Verificação alternativa por probabilidade condicional total: \dfrac{P(\text{1ª preta e 2ª preta})}{P(\text{1ª preta})} = \dfrac{\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{4}}{\tfrac{2}{3}}=\tfrac{3}{4}ªªª, mesmo resultado.)

Resposta

\dfrac{1}{30}
\dfrac{1}{30}
\dfrac{3}{4}

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