Uma urna contém 10 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. Cada bola retirada é reposta, juntamente com cinco bolas da mesma cor. Qual é a probabilidade de saírem nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E nesta ordem: 1 preta, uma vermelha, uma preta, 1 vermelha? Dado que a primeira bola é preta, qual é a probabilidade de que a segunda seja preta?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (tirei todos os números do enunciado):
- A urna começa com
bolas pretas e bolas vermelhas. - A cada retirada, a bola é reposta e, além disso, são acrescentadas
bolas da mesma cor (ou seja, reforço de ). - Perguntas:
- Qual a probabilidade de saírem, nessa ordem, preta, preta, vermelha, vermelha? (sequência
). - Qual a probabilidade de saírem, nessa ordem, preta, vermelha, preta, vermelha? (sequência
). - Dado que a primeira bola é preta, qual a probabilidade de que a segunda seja preta?
- Qual a probabilidade de saírem, nessa ordem, preta, preta, vermelha, vermelha? (sequência
Passo 2
Como vamos resolver (idéia e regra que vamos usar).
- Aqui é um problema de probabilidades condicionais em sequência: a probabilidade de cada retirada depende da composição atual da urna. A regra prática é simples e muito útil: no passo
a probabilidade de tirar uma bola de certa cor é o número atual de bolas dessa cor dividido pelo número total atual de bolas. Depois de retirar e repor com reforço, atualiza-se a contagem e segue para o próximo passo. - Para organizar: chamo inicialmente
o número de pretas iniciais, o número de vermelhas iniciais e o reforço (quantas bolas da mesma cor são adicionadas após cada retirada). O total inicial é . - Regra passo a passo (fórmula prática): se até antes do passo
já ocorreram pretas e vermelhas (com ), então no passo
a probabilidade de sair preta ée a probabilidade de sair vermelha é - Vamos aplicar essa regra passo a passo para cada sequência.
Passo 3
Calcular a probabilidade da sequência
(preta, preta, vermelha, vermelha), seguindo a regra passo a passo.
- Passo 1 (tirar preta): há
pretas em um total , então - Após retirar e repor com reforço
bolas pretas, a urna fica com pretas e vermelhas; total . - Passo 2 (tirar preta novamente): agora
- Após o segundo preto e reforço, a urna fica com
pretas e vermelhas; total . - Passo 3 (tirar vermelha): agora
- Após essa vermelha e reforço, a urna fica com
pretas e vermelhas; total . - Passo 4 (tirar vermelha): agora
- A probabilidade da sequência
é o produto dos : - Simplificando passo a passo:
- Portanto
Passo 4
Calcular a probabilidade da sequência
(preta, vermelha, preta, vermelha), passo a passo.
- Passo 1 (tirar preta): igual ao caso anterior,
- Após isso a urna fica com
pretas e vermelhas; total . - Passo 2 (tirar vermelha): agora
- Após essa vermelha e reforço, a urna fica com
pretas e vermelhas; total . - Passo 3 (tirar preta): agora
- Após esse preto e reforço, a urna fica com
pretas e vermelhas; total . - Passo 4 (tirar vermelha): agora
- Produto:
- Simplificando:
- Portanto
- Observação intuitiva (curiosa e útil para a prova): as duas sequências têm a mesma probabilidade porque ambas têm exatamente
pretas e vermelhas em quatro retiradas; nesse modelo (urnas do tipo Pólya) a probabilidade de uma sequência depende somente do número de cada cor e não da ordem — por isso todas as ordens com dois e dois terão a mesma probabilidade.
Passo 5
Calcular a probabilidade condicional: dado que a primeira é preta, qual a probabilidade da segunda ser preta?
- Se já sabemos que a primeira foi preta, então imediatamente após essa retirada e o reforço a urna tem
pretas e vermelhas; total . - Portanto a probabilidade condicional é simplesmente
- (Verificação alternativa por probabilidade condicional total:
, mesmo resultado.)