São dadas as urnas
e
. Da urna
é retirada uma bola, que é colocada na urna
. Da urna
retira-se, então, uma bola que é colocada na urna
. Retira-se em seguida uma bola da urna
.
A probabilidade de ocorrer bola de cor vermelha na última extração é 0,537 . Determinar o valor de
sabendo que as urnas têm as seguintes composições:
onde
representa bola vermelha e
, bola preta.
A probabilidade de ocorrer bola de cor vermelha na última extração é 0,537 . Determinar o valor de
onde
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos três urnas A, B e C com composições iniciais:
- A: 7 bolas vermelhas (V) e 3 pretas §
- B: 3 V e 6 P
- C: (9–x) V e x P
O processo é:
- tira de A e põe em B,
- tira de B e põe em C,
- tira de C (queremos a chance de sair V).
O enunciado diz que essa probabilidade final é 0,537 e pede para achar x.
Conteúdo: probabilidade composta e lei da probabilidade total. Vamos precisar definir eventos, calcular probabilidades condicionais e montar uma equação em x.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar:
-
= cor da bola tirada de A. -
= cor da bola tirada de B (já depois de receber a de A).
Da urna A a chance de sair V é
e de sair P é
Passo 3
Agora, dependendo do que veio de A, a urna B muda de composição e a gente calcula
Se veio V de A, B fica com
V e 6 P (total 10), logo
Se veio P de A, B fica com 3 V e
P, então
Pela lei total,
E
.
Passo 4
Agora a urna C originalmente tem
V e
P (total 9).
- Se
, a gente coloca mais 1 V em C, ficando V em 10 bolas, então - Se
, C fica com V e P, total 10, logo
De novo, pela lei total da probabilidade, a chance final de V é
Passo 5
Sabemos que isso vale 0,537, então montamos
Calculando o lado esquerdo:
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