São dadas as urnas A, B e C. Da urna A é retirada uma bola, que é colocada na urna B. Da urna B retira-se, então, uma bola que é colocada na urna C. Retira-se em seguida uma bola da urna C.
A probabilidade de ocorrer bola de cor vermelha na última extração é 0,537 . Determinar o valor de x sabendo que as urnas têm as seguintes composições:
A:l7 V 3 P B:l3 V 6 P C:rr9-x & V x & P
onde V representa bola vermelha e P, bola preta.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos três urnas A, B e C com composições iniciais:
  • A: 7 bolas vermelhas (V) e 3 pretas §
  • B: 3 V e 6 P
  • C: (9–x) V e x P
O processo é:
  1. tira de A e põe em B,
  2. tira de B e põe em C,
  3. tira de C (queremos a chance de sair V).
O enunciado diz que essa probabilidade final é 0,537 e pede para achar x.
Conteúdo: probabilidade composta e lei da probabilidade total. Vamos precisar definir eventos, calcular probabilidades condicionais e montar uma equação em x.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar:
  • P(TA = V) = 77+3 = 710, = cor da bola tirada de A.
  • P(TA = P) = 310 = cor da bola tirada de B (já depois de receber a de A).
Da urna A a chance de sair V é
e de sair P é

Passo 3

Agora, dependendo do que veio de A, a urna B muda de composição e a gente calcula
P(TB = V mid TA = V), P(TB = V mid TA = P)
Se veio V de A, B fica com P(TB = V mid TA = V) = 410 = 0,4 V e 6 P (total 10), logo
P(TB = V mid TA = P) = 310 = 0,3
Se veio P de A, B fica com 3 V e P(TB = V) = P(TA=V),P(TB=Vmid TA=V) + P(TA=P),P(TB=Vmid TA=P) = 710cdot0,4 + 310cdot0,3 = 0,37 P, então
Pela lei total,
E .

Passo 4

Agora a urna C originalmente tem P(tirar V de Cmid TB=V) = 10-x10 V e P(tirar V de Cmid TB=P) = 9-x10 P (total 9).
  • Se P(V na C) = P(TB=V),10-x10 + P(TB=P),9-x10 = 0,3710-x10 + 0,639-x10 , a gente coloca mais 1 V em C, ficando V em 10 bolas, então
  • Se , C fica com V e P, total 10, logo
De novo, pela lei total da probabilidade, a chance final de V é

Passo 5

Sabemos que isso vale 0,537, então montamos
0,37,(10 - x) + 0,63,(9 - x) = 0,537cdot 10 = 5,37
Calculando o lado esquerdo:
0,37cdot10 - 0,37x + 0,63cdot9 - 0,63x = 3,7 - 0,37x + 5,67 - 0,63x = 9,37 - x
Logo
9,37 - x = 5,37 Longrightarrow x = 9,37 - 5,37 = 4

Resposta

.

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