Mostre que a função
é invertível e calcule
, considerando:
, definida para
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- A função é
definida por
- Foi dado o valor
. - Perguntas a responder:
- Mostrar que
é invertível. - Calcular
, isto é, .
- Mostrar que
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A integranda é
para . - A integral está centrada em
(limite inferior ).
Passo 2
Analisar a integranda: continuidade e sinal.
- Considere a função
. Temos para todo , porque e . Logo para todo . - Portanto a integranda
é uma função contínua e estritamente positiva em todo
.
Passo 3
Derivabilidade de
e cálculo de
.
- Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (versão para integrais com variável superior), se
é contínua então a função
é diferenciável em todo ponto e a derivada é
.
- Aplicando aqui, como
é contínua, segue que é diferenciável em todo e
Passo 4
Monotonicidade e invertibilidade de
.
- Pela conclusão anterior, para todo
vale (porque a integranda é estritamente positiva). - Uma função diferenciável cuja derivada é sempre positiva é estritamente crescente.
- Uma função estritamente crescente é injetora; portanto
é invertível (isto é, possui inversa definida sobre sua imagem ). - Observação (apenas para contexto): aqui a imagem
é um intervalo aberto com , mas para a invertibilidade basta que seja injetora; a inversa existe de em .
Passo 5
Localizar o ponto
tal que
.
- Queremos
em . Primeiro ache , ou seja, tal que . - Note que
- Como
é estritamente crescente e , concluímos que é o único ponto com . Assim .
Passo 6
Fórmula para a derivada da inversa e justificativa (pequena “aula”).
- Se
é diferenciável num ponto e , então a inversa é diferenciável no ponto e
- Justificativa rápida (cadeia): a identidade
para perto de . Derivando ambos os lados em relação a e aplicando regra da cadeia obtém-se
Tomando
e resolvendo para
dá a fórmula acima.
Passo 7
Aplicar a fórmula ao nosso caso e computar o valor numérico.
- Temos
. - Calculamos
usando o resultado do Passo 3:
- Como
, a condição da fórmula está satisfeita. Portanto
Resposta
f é invertível (estritamente crescente)