Mostre que a função f é invertível e calcule \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b), considerando:
f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+s^{2}+s^{4}} d s, definida para x \in \mathbb{R} ; b=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • A função é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+s^{2}+s^{4}}\,ds.
  • Foi dado o valor b=0.
  • Perguntas a responder:
    1. Mostrar que f é invertível.
    2. Calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b), isto é, \left(f^{-1}\right)^{\prime}(0).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A integranda é \dfrac{1}{1+s^{2}+s^{4}} para s\in\mathbb{R}.
  • A integral está centrada em 0 (limite inferior 0).

Passo 2

Analisar a integranda: continuidade e sinal.
  • Considere a função g(s)=1+s^{2}+s^{4}. Temos g(s)\ge 1 para todo s\in\mathbb{R}, porque s^{2}\ge 0 e s^{4}\ge 0. Logo g(s)>0 para todo s.
  • Portanto a integranda
\frac{1}{1+s^{2}+s^{4}}
é uma função contínua e estritamente positiva em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Derivabilidade de f e cálculo de f'(x).
  • Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (versão para integrais com variável superior), se g é contínua então a função
f(x)=\int_{0}^{x} g(s)\,ds
é diferenciável em todo ponto e a derivada é f'(x)=g(x).
  • Aplicando aqui, como g(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}+x^{4}} é contínua, segue que f é diferenciável em todo \mathbb{R} e
f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}+x^{4}}.

Passo 4

Monotonicidade e invertibilidade de f.
  • Pela conclusão anterior, para todo x vale f'(x)>0 (porque a integranda é estritamente positiva).
  • Uma função diferenciável cuja derivada é sempre positiva é estritamente crescente.
  • Uma função estritamente crescente é injetora; portanto f é invertível (isto é, possui inversa definida sobre sua imagem f(\mathbb{R})).
  • Observação (apenas para contexto): aqui a imagem f(\mathbb{R}) é um intervalo aberto (-\ell,\ell) com \ell=\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1+s^{2}+s^{4}}\,ds<\infty, mas para a invertibilidade basta que f seja injetora; a inversa existe de f(\mathbb{R}) em \mathbb{R}.

Passo 5

Localizar o ponto a tal que f(a)=b.
  • Queremos \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b) em b=0. Primeiro ache a=f^{-1}(b), ou seja, a tal que f(a)=0.
  • Note que
f(0)=\int_{0}^{0}\frac{1}{1+s^{2}+s^{4}}\,ds=0.
  • Como f é estritamente crescente e f(0)=0, concluímos que a=0 é o único ponto com f(a)=0. Assim f^{-1}(0)=0.

Passo 6

Fórmula para a derivada da inversa e justificativa (pequena “aula”).
  • Se f é diferenciável num ponto a e f'(a)\neq 0, então a inversa f^{-1} é diferenciável no ponto b=f(a) e
\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}.
  • Justificativa rápida (cadeia): a identidade f(f^{-1}(y))=y para y perto de b. Derivando ambos os lados em relação a y e aplicando regra da cadeia obtém-se
f'\big(f^{-1}(y)\big)\cdot\big(f^{-1}\big)'(y)=1.
Tomando y=b e resolvendo para \big(f^{-1}\big)'(b) dá a fórmula acima.

Passo 7

Aplicar a fórmula ao nosso caso e computar o valor numérico.
  • Temos a=f^{-1}(0)=0.
  • Calculamos f'(0) usando o resultado do Passo 3:
f'(0)=\frac{1}{1+0^{2}+0^{4}}=\frac{1}{1}=1.
  • Como f'(0)=1\neq 0, a condição da fórmula está satisfeita. Portanto
\left(f^{-1}\right)'(0)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{1}=1.

Resposta

f é invertível (estritamente crescente)
\left(f^{-1}\right)'(0)=1

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