Mostre que a função
é invertível e calcule
, considerando:
.)
.)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o valor
:
-
, definida para . -
.
O que o problema pede:
- Mostrar que a função
é invertível (ou seja, bijetiva sobre seu contradomínio, nesse caso basta mostrar injetividade pelo domínio dado). - Calcular
, ou seja, a derivada da função inversa avaliada em .
Nenhuma outra informação foi fornecida.
Passo 2
Vamos estudar a monotonicidade de
, porque uma função estritamente monotônica em um intervalo é injetiva nesse intervalo (e, portanto, tem inversa quando restrita ao seu contradomínio).
Calculemos a derivada de
. Para
,
A derivada de
é
. Logo
Agora observe que, para todo
, tem-se
e assim
. Portanto
Como a derivada é negativa em todo o domínio
, a função
é estritamente decrescente em
. Logo
é injetiva em
e, portanto, invertível quando vista como função de
em seu contradomínio.
(A boa notícia: também, pelos limites
e
,
é sobrejetora sobre
. Assim, para qualquer
existe exatamente um
com
.)
Passo 3
Precisamos encontrar o ponto
tal que
, porque a fórmula da derivada da inversa exige avaliar
em
.
Resolva
:
Multiplicando ambos os lados por
(válido pois
):
Rearranjando:
Multiplicando por
:
Testando
:
logo
é raiz. Assim
, isto é,
. Pela monotonicidade (passo anterior) essa solução é única em
, então de fato
.
Passo 4
Agora usamos a fórmula para a derivada da inversa. Se
é diferenciável em
e
, então
é diferenciável em
e vale (derivando
pelo teorema da cadeia)
Aplicando com
e sabendo que
, obtemos
Calcule
usando a expressão encontrada:
Logo
Passo 5
Resumo final do raciocínio: a derivada negativa em todo o domínio garante que
é estritamente decrescente e, portanto, invertível. Encontrou‑se
com
. Usando a fórmula da derivada da inversa e avaliando
em
obteve‑se o valor pedido.
Resposta
A função
é invertível em
.