Mostre que a função f é invertível e calcule \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b), considerando:
f(x)=-2 x+\frac{8}{x^{3}}\, definida para \(x>0 ; b=-3.)

Passo 1

O enunciado dá a função f e o valor b:
  • f(x) = -2x + \dfrac{8}{x^{3}}, definida para x>0.
  • b = -3.
O que o problema pede:
  1. Mostrar que a função f é invertível (ou seja, bijetiva sobre seu contradomínio, nesse caso basta mostrar injetividade pelo domínio dado).
  2. Calcular \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b), ou seja, a derivada da função inversa avaliada em b=-3.
Nenhuma outra informação foi fornecida.

Passo 2

Vamos estudar a monotonicidade de f, porque uma função estritamente monotônica em um intervalo é injetiva nesse intervalo (e, portanto, tem inversa quando restrita ao seu contradomínio).
Calculemos a derivada de f. Para \;x>0\;,
f'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(-2x+\frac{8}{x^{3}}\right) = -2 + \frac{d}{dx}\!\left(8x^{-3}\right).
A derivada de 8x^{-3} é 8\cdot(-3)x^{-4}=-24x^{-4}. Logo
f'(x) = -2 - \frac{24}{x^{4}}.
Agora observe que, para todo x>0, tem-se x^{4}>0 e assim \dfrac{24}{x^{4}}>0. Portanto
f'(x) = -2 - \frac{24}{x^{4}} < -2 < 0 \quad\text{para todo } x>0.
Como a derivada é negativa em todo o domínio x>0, a função f é estritamente decrescente em (0,\infty). Logo f é injetiva em (0,\infty) e, portanto, invertível quando vista como função de (0,\infty) em seu contradomínio.
(A boa notícia: também, pelos limites \lim_{x\to0^+} f(x)=+\infty e \lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty, f é sobrejetora sobre \mathbb{R}. Assim, para qualquer b\in\mathbb{R} existe exatamente um a>0 com f(a)=b.)

Passo 3

Precisamos encontrar o ponto a>0 tal que f(a)=b=-3, porque a fórmula da derivada da inversa exige avaliar f' em a=f^{-1}(b).
Resolva f(x)=-3:
-2x+\frac{8}{x^{3}} = -3.
Multiplicando ambos os lados por x^{3} (válido pois x>0):
-2x^{4} + 8 = -3x^{3}.
Rearranjando:
-2x^{4} + 3x^{3} + 8 = 0.
Multiplicando por -1:
2x^{4} - 3x^{3} - 8 = 0.
Testando x=2:
2\cdot 2^{4} - 3\cdot 2^{3} - 8 = 2\cdot 16 - 3\cdot 8 - 8 = 32 - 24 - 8 = 0,
logo x=2 é raiz. Assim f(2)=-3, isto é, a=2. Pela monotonicidade (passo anterior) essa solução é única em (0,\infty), então de fato f^{-1}(b)=2.

Passo 4

Agora usamos a fórmula para a derivada da inversa. Se f é diferenciável em a e f'(a)\neq0, então f^{-1} é diferenciável em b=f(a) e vale (derivando f(f^{-1}(y))=y pelo teorema da cadeia)
\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.
Aplicando com y=b=-3 e sabendo que f^{-1}(b)=2, obtemos
\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(2)}.
Calcule f'(2) usando a expressão encontrada:
f'(2) = -2 - \frac{24}{2^{4}} = -2 - \frac{24}{16} = -2 - \frac{3}{2} = -\frac{7}{2}.
Logo
\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{-\tfrac{7}{2}} = -\frac{2}{7}.

Passo 5

Resumo final do raciocínio: a derivada negativa em todo o domínio garante que f é estritamente decrescente e, portanto, invertível. Encontrou‑se a=2 com f(2)=b. Usando a fórmula da derivada da inversa e avaliando f' em 2 obteve‑se o valor pedido.

Resposta

A função f é invertível em (0,\infty).
\left(f^{-1}\right)'(b) = -\dfrac{2}{7}

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