Usando apenas as teorias dos sistemas de equações lineares e de escalonamento gaussiano, procure balancear, de forma mínima, a seguinte equação química, ou seja, determine os valores de x, y, z e w inteiros positivos, na expressão abaixo:
x A l(O H)_{3}+y H_{2} S O_{4} \longrightarrow z A l_{2}\left(S O_{4}\right)_{3}+w H_{2} O

Passo 1

O enunciado pede para equilibrar, com inteiros positivos mínimos, a reação
x\,\mathrm{Al(OH)}_{3} \;+\; y\,\mathrm{H_{2}SO_{4}} \;\longrightarrow\; z\,\mathrm{Al_{2}(SO_{4})_{3}} \;+\; w\,\mathrm{H_{2}O}
usando apenas a teoria de sistemas lineares (conservação de átomos) e escalonamento gaussiano.

Passo 2

Escrevemos uma equação de balanço para cada elemento:
Alumínio (Al):
x = 2\,z.
Enxofre (S):
y = 3\,z.
Hidrogênio (H):
LHS tem 3x de \mathrm{Al(OH)_3} mais 2y de \mathrm{H_2SO_4}, RHS tem 2w em \mathrm{H_2O}, logo
3x + 2y = 2w.
Oxigênio (O):
LHS tem 3x de \mathrm{Al(OH)_3} mais 4y de \mathrm{H_2SO_4}, RHS tem 12z em \mathrm{Al_2(SO_4)_3} mais w em \mathrm{H_2O}, logo
3x + 4y = 12z + w.

Passo 3

Das primeiras duas equações já isolamos
x = 2z, \qquad y = 3z.

Passo 4

Substituindo x=2z e y=3z em 3x+2y=2w:
3(2z) + 2(3z) = 2w \quad\Longrightarrow\quad 6z + 6z = 2w \quad\Longrightarrow\quad w = 6z.
Verifica-se que a equação de oxigênio dá o mesmo resultado w=6z, então o sistema está consistente.

Passo 5

Para obter a solução inteira positiva mínima, escolhemos z=1. Assim
x = 2\cdot1 = 2, \quad y = 3\cdot1 = 3, \quad w = 6\cdot1 = 6.

Resposta

x=2,\;y=3,\;z=1,\;w=6.

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