1. Quando um foton incide em um bloco de certo material parcialmente opaco, podemos detectá-lo como transmitido ( T ), refletido (R) e absorvido (A) pelo material. A base de estados quánticos ortonormais correspondentes é constituida pelos estados |\mathrm{T}\rangle,|\mathrm{R}\rangle e |\mathrm{A}\rangle, respectivamente. Considere que o fóton se encontra no estado:
|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{6}}|T\rangle+\frac{1}{\sqrt{6}}|R\rangle \sqrt{\frac{2}{3}}|A\rangle
a) Mostre que o estado quântico acima é normalizado.
b) Qual a probabilidade de o fóton ser refletido?
c) Qual a probabilidade de o fóton ser absorvido?

Passo 1

O enunciado nos dá um fóton no estado
|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}|T\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}}|R\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}\,|A\rangle
na base ortonormal \{|T\rangle,|R\rangle,|A\rangle\}. Vamos usar que para um estado genérico
|\Psi\rangle=\sum_i c_i|i\rangle
a normalização exige
\langle\Psi|\Psi\rangle=\sum_i|c_i|^2=1
e que a probabilidade de medir o estado |i\rangle é |c_i|^2.

Passo 2

Calcular a norma de |\Psi\rangle:
\langle\Psi|\Psi\rangle = \Bigl|\tfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigr|^2 + \Bigl|\tfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigr|^2 + \Bigl|\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr|^2 = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{2}{3} = 1.
Logo o estado está normalizado.

Passo 3

A probabilidade de o fóton ser refletido é
P(R)=\bigl|\langle R|\Psi\rangle\bigr|^2 =\Bigl|\tfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigr|^2 =\tfrac{1}{6}.

Passo 4

A probabilidade de o fóton ser absorvido é
P(A)=\bigl|\langle A|\Psi\rangle\bigr|^2 =\Bigl|\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr|^2 =\tfrac{2}{3}.

Resposta

(a) O estado está normalizado, pois \langle\Psi|\Psi\rangle=1.
(b) P(R)=\tfrac{1}{6}.
(c) P(A)=\tfrac{2}{3}.

Exercícios relacionados