Usando os conceitos de Transformada de Laplace e sua inversa resolva:
Determine a solução do PVI:
Determine a solução do PVI:
Passo 1
O enunciado nos dá um problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que pede: determinar a solução
válida para
.
Passo 2
Vou usar a Transformada de Laplace para resolver o PVI. Primeiro, uma revisão curta e prática das ferramentas que vou usar (com explicação amigável):
- Definição da Transformada de Laplace: para uma função
(assumindo que cresce razoavelmente e está definida para ),
Isto transforma uma função no tempo
numa função do parâmetro
.
- Linearidade:
. - Transformadas de derivadas (essenciais para PVI): se
, então
Essas fórmulas aparecem porque ao integrar por partes aparecem termos com as condições iniciais — por isso Laplace é ótimo para PVI.
- Algumas transformadas que vou usar na inversão:
- Inversão:
é linear e desfaz a transformada, usando as tabelas acima e decomposição em frações parciais quando necessário.
Passo 3
Aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial. Tomando
em ambos os lados de
obtemos, usando linearidade,
Substituindo as fórmulas das derivadas e
, e usando as condições iniciais
,
, temos:
Com
e
isso simplifica para
Fatorando
,
logo
Passo 4
Para inverter
precisamos escrever
em formas conhecidas. Faço decomposição em frações parciais:
Assumo
Assumo
Multiplicando ambos os lados por
dá
Expandindo:
Agrupando coeficientes por potências de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolvendo: de
vem
. Então
. E
.
Portanto
Portanto
Passo 5
Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando a lista de transformadas:
-
-
Aqui então .
Assim
Posso escrever de forma limpa:
Passo 6
Checagem rápida (pra ficar mais seguro): pela resolução clássica de EDO,
- solução geral homogênea de
é ; - uma solução particular constante para o lado direito
é .
Com as condiçõese obtém-se e , resultando novamente em . Isso confirma nosso resultado obtido por Laplace.