Usando os conceitos de Transformada de Laplace e sua inversa resolva:
Determine a solução do PVI:
y^{\prime \prime}+4 y=3, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações:
  • Equação diferencial: y'' + 4y = 3.
  • Condições iniciais: y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que pede: determinar a solução y(t) válida para t\ge 0.

Passo 2

Vou usar a Transformada de Laplace para resolver o PVI. Primeiro, uma revisão curta e prática das ferramentas que vou usar (com explicação amigável):
  • Definição da Transformada de Laplace: para uma função f(t) (assumindo que cresce razoavelmente e está definida para t\ge0),
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Isto transforma uma função no tempo t numa função do parâmetro s.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\} = a\mathcal{L}\{f\} + b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformadas de derivadas (essenciais para PVI): se \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas aparecem porque ao integrar por partes aparecem termos com as condições iniciais — por isso Laplace é ótimo para PVI.
  • Algumas transformadas que vou usar na inversão:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
  • Inversão: \mathcal{L}^{-1} é linear e desfaz a transformada, usando as tabelas acima e decomposição em frações parciais quando necessário.

Passo 3

Aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial. Tomando \mathcal{L} em ambos os lados de y'' + 4y = 3, obtemos, usando linearidade,
\mathcal{L}\{y''\} + 4\mathcal{L}\{y\} = 3\mathcal{L}\{1\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas e \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}, e usando as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, temos:
\big(s^{2}Y(s) - s\,y(0) - y'(0)\big) + 4Y(s) = 3\cdot\frac{1}{s}.
Com y(0)=0 e y'(0)=0 isso simplifica para
s^{2}Y(s) + 4Y(s) = \frac{3}{s}.
Fatorando Y(s),
Y(s)\big(s^{2}+4\big)=\frac{3}{s},
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Y(s)=\frac{3}{s(s^{2}+4)}.

Passo 4

Para inverter \mathcal{L} precisamos escrever Y(s) em formas conhecidas. Faço decomposição em frações parciais:
Assumo
\frac{3}{s(s^{2}+4)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+4)
3 = A(s^{2}+4)+(Bs+C)s.
Expandindo:
3 = A s^{2} + 4A + B s^{2} + C s.
Agrupando coeficientes por potências de s:
  • Coeficiente de s^{2}: A + B = 0.
  • Coeficiente de s: C = 0.
  • Termo constante: 4A = 3.
Resolvendo: de 4A=3 vem A=\dfrac{3}{4}. Então B=-A=-\dfrac{3}{4}. E C=0.
Portanto
Y(s)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{s}-\frac{3}{4}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 5

Agora aplico a transformada inversa termo a termo, usando a lista de transformadas:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\}=\cos(at). Aqui a^{2}=4 então a=2.
Assim
y(t)=\frac{3}{4}\cdot 1 - \frac{3}{4}\cdot \cos(2t).
Posso escrever de forma limpa:
y(t)=\frac{3}{4}\big(1-\cos(2t)\big).

Passo 6

Checagem rápida (pra ficar mais seguro): pela resolução clássica de EDO,
  • solução geral homogênea de y''+4y=0 é C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t);
  • uma solução particular constante para o lado direito 3 é y_{p}=\dfrac{3}{4}.
    Com as condições y(0)=0 e y'(0)=0 obtém-se C_{1}=-\tfrac{3}{4} e C_{2}=0, resultando novamente em y(t)=\tfrac{3}{4}(1-\cos(2t)). Isso confirma nosso resultado obtido por Laplace.

Resposta

y(t)=\dfrac{3}{4}\big(1-\cos(2t)\big)

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