Usando seus conhecimentos de testes para convergência, determine se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n!};

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!}
verificando se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos usar o teste da razão para estudar a convergência absoluta.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, olhamos para
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n-1}}{n!}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}.
Aplicando o teste da razão de d’Alembert, calculamos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)!}{1/n!} =\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} =0.
Como L<1, a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n! converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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