Usando seus conhecimentos de testes para convergência, determine se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \sqrt{n}};

Passo 1

O enunciado pede para classificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}
se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Vamos usar dois testes:
  1. Teste de convergência absoluta (p-série).
  2. (Opcional) Teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n\sqrt{n}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}.
Isso é uma p-série com p=\tfrac32>1. Pelo critério de p-séries, ela converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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