Usando seus conhecimentos de testes para convergência, determine se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \sqrt{n}}{n+1};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{n+1}
querendo saber se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos precisar do teste de comparação para a parte absoluta e do teste de Leibniz (série alternada) para a convergência condicional.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, isto é, da série
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n}}{n+1}\biggr| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1}.
Fazemos comparação assintótica com a série b_n = 1/\sqrt{n} (p-série com p=1/2<1, que diverge). De fato,
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{n}}{n+1}}{\frac1{\sqrt{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\,n+1\,}=1,
logo \sum \frac{\sqrt{n}}{n+1} diverge. Concluímos que não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora verificamos as condições do teste de Leibniz para
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n,\quad b_n=\frac{\sqrt{n}}{n+1}.
  1. Limite nulo:
\lim_{n\to\infty}b_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\;=\;0.
  1. Monotonia: considere f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}. Sua derivada é
f'(x) =\frac{(x+1)\,\frac1{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{(x+1)^2} =\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2},
que é negativa para x>1. Logo b_n é decrescente a partir de n=2.

Passo 4

Como b_n>0, \lim b_n=0 e b_n decresce, pelo teste de Leibniz a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n
converge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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