Usando seus conhecimentos de testes para convergência, determine se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 5^{n-1}}{(n+1)^{2} 4^{n+2}};

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad\text{com}\quad a_n = \frac{(-1)^{n+1}\,5^{n-1}}{(n+1)^{2}\,4^{n+2}},
determinando se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.
O conteúdo necessário inclui o teste da razão para séries de termos positivos (convergência absoluta) e o teste do termo geral (condição necessária para convergência).

Passo 2

Escrevemos o valor absoluto do termo geral e simplificamos fatores constantes e exponenciais:
|a_n| = \frac{5^{n-1}}{(n+1)^{2}\,4^{n+2}} = \frac{5^{n}}{5\,(n+1)^{2}\,4^{n}\,4^{2}} = \frac{1}{80}\,\frac{\bigl(\tfrac54\bigr)^{n}}{(n+1)^{2}}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão em b_n=|a_n|:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{80}\,\frac{(\tfrac54)^{n+1}}{(n+2)^{2}}} {\frac{1}{80}\,\frac{(\tfrac54)^{n}}{(n+1)^{2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac54\;\frac{(n+1)^{2}}{(n+2)^{2}} = \frac54.
Como L=\tfrac54>1, a série \sum|a_n| diverge, logo não há convergência absoluta.

Passo 4

Para haver convergência condicional seria preciso que a_n\to0. Mas como \tfrac54>1, o termo |a_n|=(1/80)(5/4)^n/(n+1)^2 cresce exponencialmente e não tende a zero. Portanto nem mesmo o termo geral satisfaz a condição necessária à convergência, e a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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