Usando seus conhecimentos de testes para convergência, determine se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 5^{n}}{n 3^{2 n}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)\,5^{n}}{n\,3^{2n}}
usando testes de convergência. Como os termos são positivos, basta analisar a convergência absoluta (que coincide com a convergência usual) e para isso vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Note que
3^{2n} = 9^{n},
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a_{n} \;=\;\frac{(n+1)\,5^{n}}{n\,3^{2n}} \;=\;\frac{n+1}{n}\;\Bigl(\frac{5}{9}\Bigr)^{n} \;=\;\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr)\Bigl(\tfrac{5}{9}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \;=\;\lim_{n\to\infty} \frac{\bigl(1+\tfrac{1}{n+1}\bigr)\bigl(\tfrac{5}{9}\bigr)^{n+1}} {\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)\bigl(\tfrac{5}{9}\bigr)^{n}} \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n+1}}{1+\tfrac{1}{n}}\;\frac{5}{9}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n+1}}{1+\tfrac{1}{n}}=1,
fica
L = \frac{5}{9} < 1.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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