Usando seus conhecimentos de testes para convergência, determine se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(\frac{n \pi}{6}\right)}{n \sqrt{n}};

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr)}{n\sqrt{n}}
e pede para determinar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. O conteúdo principal é testar convergência de séries, usando o teste de comparação com séries p.

Passo 2

Para testar convergência absoluta, consideramos
b_n = \biggl|\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr)}{n\sqrt{n}}\biggr| = \frac{\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{6}\bigr)\bigr|}{n^{3/2}} \le \frac{1}{n^{3/2}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} é uma série p-série com p=\tfrac{3}{2}>1, ela converge. Pelo teste da comparação direta, \sum b_n também converge.

Passo 3

Como \sum b_n=\sum|a_n| converge, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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