Usando seus conhecimentos de testes para convergência, determine se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n}}{5^{2 n+3}};

Passo 1

Resumindo: temos a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-n)^{n}}{5^{2n+3}}
e queremos testar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Passo 2

Extraímos o fator constante e reescrevemos o termo geral:
a_n = \frac{(-n)^n}{5^{2n+3}} = \frac{1}{5^3}\,\frac{(-n)^n}{5^{2n}} = \frac{1}{125}\,(-1)^n\Bigl(\frac{n}{25}\Bigr)^n.

Passo 3

Para a série de valores absolutos usamos o teste da raiz. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^n}{5^{2n+3}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{25} = +\infty.
Como esse limite é maior que 1, a série não converge absolutamente.

Passo 4

Além disso, como
\lim_{n\to\infty}a_n não é zero (na verdade |a_n|\to\infty), nem mesmo um eventual caráter alternado garante convergência.

Resposta

A série diverge.

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