Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} n 5^{n} x^{n};

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} n\,5^{n}x^{n}.
O conteúdo principal aqui é o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Seja a_{n}=n\,5^{n}x^{n}. Aplicando o teste da razão, analisamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\,5^{n+1}|x|^{n+1}}{n\,5^{n}|x|^{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\;5\,|x| = 5\,|x|.
O critério diz que a série converge se L<1.

Passo 3

Da condição 5\,|x|<1 vem
|x|<\frac{1}{5}.
Portanto, o raio de convergência é
R = \frac{1}{5}.

Passo 4

Precisamos agora verificar os extremos x=\pm\frac{1}{5}:
  1. Para x=\tfrac{1}{5}, a série fica
    \sum_{n=1}^{\infty} n\;5^{n}\Bigl(\tfrac{1}{5}\Bigr)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty}n,
    que diverge pois os termos não tendem a zero.
  2. Para x=-\tfrac{1}{5}, a série fica
    \sum_{n=1}^{\infty} n\;5^{n}\Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty}n\,(-1)^{n},
    cujos termos em valor absoluto são n, que também não tendem a zero, logo diverge.
Não há convergência nos extremos.

Resposta

Raio de convergência: R=\tfrac{1}{5}
Intervalo de convergência: \bigl(-\tfrac{1}{5},\,\tfrac{1}{5}\bigr)

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