Usando coordenadas polares, encontre a área do conjunto dos pontos do primeiro quadrante que satisfazem a relação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um conjunto de pontos no primeiro quadrante que satisfazem a relação
usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas cartesianas
para polares
e entender como essas desigualdades se traduzem nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares temos as relações:
Além disso,
. Vamos substituir essas expressões nas desigualdades dadas.
Passo 3
Substituindo na primeira desigualdade
:
Podemos dividir ambos os lados por
(como
no primeiro quadrante):
Passo 4
Agora, substituindo na segunda desigualdade
:
Dividindo ambos os lados por
novamente:
Passo 5
Então, resumindo as desigualdades em coordenadas polares:
E como estamos no primeiro quadrante, os limites para
são de
a
.
Passo 6
Agora, para encontrar a área, usamos a fórmula de integração em coordenadas polares:
Aqui,
,
,
e
.
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Isso simplifica para:
Usando a identidade trigonométrica
.
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Ops! Parece que algo deu errado aqui. Vamos revisar nossos limites.
Passo 9
Na verdade, percebemos que
no primeiro quadrante quando
varia de
a
. Então, precisamos ajustar os limites de
.
Passo 10
Atualizando os limites de
para
a
, recalculamos a área:
Resposta
A área do conjunto de pontos no primeiro quadrante que satisfazem
é
unidades de área.