Usando coordenadas polares, encontre a área do conjunto dos pontos do primeiro quadrante que satisfazem a relação x <= x^2+y^2 <= y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de um conjunto de pontos no primeiro quadrante que satisfazem a relação x <= x^2 + y^2 <= y usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta) e entender como essas desigualdades se traduzem nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares temos as relações:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, x^2 + y^2 = r^2. Vamos substituir essas expressões nas desigualdades dadas.

Passo 3

Substituindo na primeira desigualdade x <= x^2 + y^2:
r cos theta <= r^2
Podemos dividir ambos os lados por r (como r > 0 no primeiro quadrante):
cos theta <= r

Passo 4

Agora, substituindo na segunda desigualdade x^2 + y^2 <= y:
r^2 <= r sin theta
Dividindo ambos os lados por r novamente:
r <= sin theta

Passo 5

Então, resumindo as desigualdades em coordenadas polares:
cos theta <= r <= sin theta
E como estamos no primeiro quadrante, os limites para theta são de 0 a pi2.

Passo 6

Agora, para encontrar a área, usamos a fórmula de integração em coordenadas polares:
Área = integralalpha^beta integrala(theta)^b(theta) r , dr , dtheta Á
Aqui, alpha = 0, beta = pi2, a(theta) = cos theta e b(theta) = sin theta.

Passo 7

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integralcos theta^sin theta r , dr = [ r^22 ]cos theta^sin theta = (sin theta)^22 - (cos theta)^22
Isso simplifica para:
12 (sin^2 theta - cos^2 theta) = 12 (-cos 2theta)
Usando a identidade trigonométrica sin^2 theta - cos^2 theta = -cos 2theta.

Passo 8

Agora, integramos em relação a theta:
Área = 12 integral0^pi2 -cos 2theta , dtheta = -12 [ sin 2theta2 ]0^pi2 = -14 (sin pi - sin 0) = 0 Á
Ops! Parece que algo deu errado aqui. Vamos revisar nossos limites.

Passo 9

Na verdade, percebemos que cos theta <= sin theta no primeiro quadrante quando theta varia de pi4 a pi2. Então, precisamos ajustar os limites de theta.

Passo 10

Atualizando os limites de theta para pi4 a pi2, recalculamos a área:
Área = 12 integralpi4^pi2 (-cos 2theta) , dtheta = -12 [ sin 2theta2 ]pi4^pi2 = -14 (sin pi - sin pi2) = -14 (0 - 1) = 14 Á

Resposta

A área do conjunto de pontos no primeiro quadrante que satisfazem x <= x^2 + y^2 <= y é 14 unidades de área.

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