Usando o critério de convergência adequado, diga se cada série converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. Informações dadas e o que temos que verificar:
- A soma é uma série infinita com termos
. - Precisamos dizer se a série (i) converge absolutamente, (ii) converge condicionalmente ou (iii) diverge.
- Não há mais condições no enunciado; vamos usar testes de convergência adequados.
Passo 2
Reescrevo o termo geral para facilitar a análise. Defino
Faço uma simplificação de
:
Observação:
para todo
. Isso sugere usar um teste para séries alternadas (teste de Leibniz) se
tende a zero e é monotona decrescente.
Passo 3
Verifico o limite de
. Como
temos
Portanto a primeira condição do teste de séries alternadas (que
) está satisfeita.
Passo 4
Preciso mostrar que
é decrescente (pelo menos a partir de algum
). Considere a função contínua
Calculo a derivada:
Para todo
temos
, logo
é estritamente decrescente em
. Isso implica que a sequência
é decrescente para
. Portanto a segunda condição do teste de Leibniz (monotonicidade decrescente) também está satisfeita.
Passo 5
Aplico o teste de séries alternadas (teste de Leibniz). O teste diz: se
é uma sequência de números positivos, decrescente e com
, então a série
converge. Como verificamos essas propriedades para
, concluímos que a série dada converge.
Dou uma intuição rápida: os termos alternam de sinal e em módulo tendem a zero de forma decrescente, de modo que as parcelas positivas e negativas vão se cancelando progressivamente e a soma estabiliza.
Passo 6
Agora verifico se a convergência é absoluta ou condicional. Considero a série dos módulos:
Posso separar:
A série
é a série harmônica, que diverge. Já
converge (pelo critério
-série com
), mas a presença da soma da harmônica faz com que a soma total diverja. Em termos simples, observe também que
para todo
, e como
diverge, pela comparação direta
diverge. Portanto a série não converge absolutamente.
Passo 7
Juntando os resultados:
- A série
converge pelo teste de Leibniz. - A série dos módulos
diverge (logo não há convergência absoluta).
Concluímos que a série converge condicionalmente. Um exemplo análogo que ajuda a fixar a ideia é a série alternada harmônica
: ela converge (pelo mesmo teste), mas não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente.