Usando o critério de convergência adequado, diga se cada série converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}+2}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}+2}{n^{3}}
converge ou diverge. Informações dadas e o que temos que verificar:
  • A soma é uma série infinita com termos a_n = (-1)^{n}\dfrac{n^{2}+2}{n^{3}}.
  • Precisamos dizer se a série (i) converge absolutamente, (ii) converge condicionalmente ou (iii) diverge.
  • Não há mais condições no enunciado; vamos usar testes de convergência adequados.

Passo 2

Reescrevo o termo geral para facilitar a análise. Defino
a_n = (-1)^n b_n,\qquad b_n = \frac{n^{2}+2}{n^{3}}.
Faço uma simplificação de b_n:
b_n = \frac{n^{2}}{n^{3}}+\frac{2}{n^{3}}=\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{3}}.
Observação: b_n>0 para todo n. Isso sugere usar um teste para séries alternadas (teste de Leibniz) se b_n tende a zero e é monotona decrescente.

Passo 3

Verifico o limite de b_n. Como
b_n=\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{3}},
temos
\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{3}}=0+0=0.
Portanto a primeira condição do teste de séries alternadas (que b_n\to0) está satisfeita.

Passo 4

Preciso mostrar que b_n é decrescente (pelo menos a partir de algum n). Considere a função contínua
f(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{3}},\qquad x>0.
Calculo a derivada:
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{6}{x^{4}}.
Para todo x>0 temos f'(x)<0, logo f é estritamente decrescente em (0,\infty). Isso implica que a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge1. Portanto a segunda condição do teste de Leibniz (monotonicidade decrescente) também está satisfeita.

Passo 5

Aplico o teste de séries alternadas (teste de Leibniz). O teste diz: se (b_n) é uma sequência de números positivos, decrescente e com \lim_{n\to\infty}b_n=0, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n
converge. Como verificamos essas propriedades para b_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^{3}}, concluímos que a série dada converge.
Dou uma intuição rápida: os termos alternam de sinal e em módulo tendem a zero de forma decrescente, de modo que as parcelas positivas e negativas vão se cancelando progressivamente e a soma estabiliza.

Passo 6

Agora verifico se a convergência é absoluta ou condicional. Considero a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{3}}\right).
Posso separar:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{3}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica, que diverge. Já \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge (pelo critério p-série com p=3>1), mas a presença da soma da harmônica faz com que a soma total diverja. Em termos simples, observe também que b_n\ge \dfrac{1}{n} para todo n, e como \sum \dfrac{1}{n} diverge, pela comparação direta \sum b_n diverge. Portanto a série não converge absolutamente.

Passo 7

Juntando os resultados:
  • A série \sum (-1)^n b_n converge pelo teste de Leibniz.
  • A série dos módulos \sum b_n diverge (logo não há convergência absoluta).
Concluímos que a série converge condicionalmente. Um exemplo análogo que ajuda a fixar a ideia é a série alternada harmônica \sum (-1)^n\frac{1}{n}: ela converge (pelo mesmo teste), mas não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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