Usando o critério de convergência adequado, diga se cada série converge ou diverge: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5}{3^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5}{3^{n}}
converge ou diverge, usando o critério de convergência adequado. Informações dadas e observações imediatas: a série é somada de n=0 até o infinito; cada termo é positivo; podemos reescrever o termo geral como \dfrac{5}{3^{n}}=5\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}. Não se resolve nada ainda neste passo — só organizamos o que o problema dá e o que ele pede.
Passo 2
Vamos aprender o teste que serve para esta série: a série geométrica. Uma série geométrica geral tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é a constante que multiplica a potência e r é a razão (a base da potência). Aqui a é o primeiro termo da soma quando n=0 e r é o fator pelo qual multiplicamos a cada passo para obter o próximo termo. Exemplo simples: \sum_{n=0}^{\infty} 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^n é uma série geométrica com a=2 e r=\tfrac{1}{2}.
Para decidir convergência de uma série geométrica fazemos o seguinte raciocínio (vou mostrar por que a fórmula da soma funciona, passo a passo — é útil na prova):
Defina a soma parcial até N por
S_N=\sum_{n=0}^{N} a\,r^{n}=a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N}.
Multiplicando S_N por r obtemos
r S_N = a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N} + a r^{N+1}.
Subtraindo as duas expressões S_N - r S_N cancela muitos termos:
S_N - r S_N = a - a r^{N+1}.
Fatorando S_N(1-r) no lado esquerdo:
S_N(1-r) = a(1 - r^{N+1}).
Desde que r\neq 1 podemos isolar S_N:
S_N = \frac{a(1 - r^{N+1})}{1-r}.
Agora, para passar da soma parcial para a soma infinita, tomamos o limite quando N\to\infty. Se \lvert r\rvert<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, e portanto
Se \lvert r\rvert\ge 1, a sequência r^{N+1} não tende a 0 e a série diverge. Resumo do critério: uma série geométrica \sum a r^{n} converge exatamente quando \lvert r\rvert<1, e aí sua soma é \dfrac{a}{1-r}.
Passo 3
Agora aplicamos isso à série do enunciado. Reescrevemos o termo geral (já observado no Passo 1):
Como a série tem termos positivos, a convergência que encontramos é também convergência absoluta (mas isso é automático para séries com termos positivos). Parabéns — você aprendeu a reconhecer uma série geométrica, derivar a fórmula da soma parcial e aplicar o critério \lvert r\rvert<1.
Resposta
\text{Converge e } \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5}{3^{n}}=\frac{15}{2}