Experimento 1 - Medida: Calcule o volume (V) e a incerteza do volume ( \sigma_{\gamma} ) para cada um do objetos:
Moeda com diâmetro =(27.00 \pm 0.05) \mathrm{mm} e espessura =(1.95 \pm 0.05) \mathrm{mm}.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o volume V e a incerteza do volume \sigma_{\gamma} da moeda. Dados fornecidos (peguei os valores diretamente do enunciado):
d = (27{,}00 \pm 0{,}05)\\ \mathrm{mm},
h = (1{,}95 \pm 0{,}05)\\ \mathrm{mm}.
Perguntas claras:
  • Calcular o volume V da moeda.
  • Calcular a incerteza do volume \sigma_{\gamma}.

Passo 2

Modelo geométrico: uma moeda é aproximada por um cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é
V = \pi r^2 h,
onde r é o raio e h a altura (espessura). Como o enunciado dá o diâmetro d, usamos r = d/2 e escrevemos a fórmula em termos de d:
V = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 h = \frac{\pi d^2 h}{4}.
Aqui:
  • V é o volume (unidade \mathrm{mm}^3);
  • d é o diâmetro (em \mathrm{mm});
  • h é a espessura (em \mathrm{mm}).

Passo 3

Calculemos V numericamente passo a passo. Primeiro o raio:
r = \frac{d}{2} = \frac{27{,}00}{2} = 13{,}50\\ \mathrm{mm}.
Quadrado do raio:
r^2 = 13{,}50^2 = 182{,}25\\ \mathrm{mm}^2.
Multiplicando por h:
r^2 h = 182{,}25 \times 1{,}95 = 355{,}3875\\ \mathrm{mm}^3.
Agora multiplicamos por \pi:
V = \pi \, r^2 h = \pi \times 355{,}3875 \approx 3{,}14159265 \times 355{,}3875 \approx 1116{,}48\\ \mathrm{mm}^3.
Portanto, o valor calculado do volume (antes de arredondar pelo erro) é aproximadamente
V \approx 1116{,}48\\ \mathrm{mm}^3.

Passo 4

Agora vamos calcular a incerteza \sigma_{\gamma} do volume. Explicação do método (bem didática): quando uma grandeza V depende de medidas independentes d e h com incertezas \sigma_d e \sigma_h, podemos usar a aproximação linear (propagação de erro por derivadas parciais). A fórmula é
\sigma_V^2 = \left(\frac{\partial V}{\partial d}\right)^2 \sigma_d^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial h}\right)^2 \sigma_h^2,
assumindo que d e h são independentes (ou seja, suas incertezas não estão correlacionadas). Essa fórmula vem do desenvolvimento em série de Taylor e pega só os termos lineares — é o método padrão que você usa na prova quando as incertezas são pequenas.

Passo 5

Calculemos as derivadas parciais necessárias. Partimos da forma
V = \frac{\pi d^2 h}{4}.
Derivando em relação a d:
\frac{\partial V}{\partial d} = \frac{\pi}{4}\cdot 2d \cdot h = \frac{\pi d h}{2}.
Derivando em relação a h:
\frac{\partial V}{\partial h} = \frac{\pi d^2}{4}.

Passo 6

Agora avaliamos numericamente as derivadas com os valores dados.
Para \dfrac{\partial V}{\partial d}:
\frac{\partial V}{\partial d} = \frac{\pi \, d \, h}{2} = \frac{\pi \times 27{,}00 \times 1{,}95}{2} = \pi \times 26{,}325 \approx 26{,}325 \times 3{,}14159265 \approx 82{,}7028\\ \mathrm{mm}^2.
Para \dfrac{\partial V}{\partial h}:
\frac{\partial V}{\partial h} = \frac{\pi d^2}{4} = \pi \times 182{,}25 \approx 182{,}25 \times 3{,}14159265 \approx 572{,}5553\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 7

Multiplicamos cada derivada pela respectiva incerteza e somamos as contribuições quadráticas.
As incertezas fornecidas são \sigma_d = 0{,}05\\ \mathrm{mm} e \sigma_h = 0{,}05\\ \mathrm{mm}.
Contribuição de d:
\left(\frac{\partial V}{\partial d}\sigma_d\right)^2 = (82{,}7028 \times 0{,}05)^2 = 4{,}13514^2 \approx 17{,}10\\ (\mathrm{mm}^3)^2.
Contribuição de h:
\left(\frac{\partial V}{\partial h}\sigma_h\right)^2 = (572{,}5553 \times 0{,}05)^2 = 28{,}627765^2 \approx 819{,}59\\ (\mathrm{mm}^3)^2.
Somando:
\sigma_V^2 \approx 17{,}10 + 819{,}59 = 836{,}69\\ (\mathrm{mm}^3)^2.
Tirando raiz:
\sigma_V = \sqrt{836{,}69}\approx 28{,}93\\ \mathrm{mm}^3.

Passo 8

Arredondamentos e apresentação final: a incerteza deve ser dada com, em geral, uma ou duas algarismos significativos. Aqui \sigma_V\approx 28{,}93\\ \mathrm{mm}^3 → tomamos \sigma_V \approx 29\\ \mathrm{mm}^3. Ajustamos o valor do volume para ter a mesma ordem de grandeza (arredondamos a casa das unidades):
V \approx 1116\\ \mathrm{mm}^3,\qquad \sigma_{\gamma} \approx 29\\ \mathrm{mm}^3.
Se preferir manter mais precisão na mantissa, pode escrever V=(1116{,}5\pm 29{,}0)\\ \mathrm{mm}^3, mas o formato usual é com a incerteza com 1–2 dígitos: V=(1116\pm 29)\\ \mathrm{mm}^3.

Resposta

V = (1116 \pm 29)\\ \mathrm{mm}^3
\sigma_{\gamma} = 29\\ \mathrm{mm}^3

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