Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados. em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a série converge de forma uniforme no intervalo usando o Critério M de Weierstrass. Para isso, vamos precisar entender o que é o Critério M de Weierstrass e como aplicá-lo a essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o Critério M de Weierstrass. Esse critério é uma ferramenta poderosa para verificar a convergência uniforme de séries de funções. Ele diz o seguinte:
Se tivermos uma série de funções e conseguimos encontrar uma sequência de números tais que:
Para todo no intervalo considerado, .
A série converge.
Então, a série converge de forma uniforme nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse critério à nossa série específica: . Nosso objetivo é encontrar uma sequência que seja um limite superior para em todo o intervalo e que a soma desses seja convergente.
Passo 4
Vamos começar vendo como podemos limitar o valor absoluto de cada termo da série:
Sabemos que o valor absoluto do seno de qualquer número é no máximo 1, ou seja, |sin(y)| <= 1 para todo y. Então,
2^n |sin (13^n x)| <= 2^n cdot 1 = 2^n
Portanto, podemos escolher Mn = 2^n.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série sumn=1^infty Mn = sumn=1^infty 2^n converge. Essa é uma série geométrica com razão r = 2. Sabemos que uma série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se e somente se |r| < 1. No nosso caso, r = 2 que é maior que 1, o que significa que a série sumn=1^infty 2^n diverge.
Passo 6
Aqui percebemos um problema: o Critério M de Weierstrass exige que a série dos Mn converge, mas no nosso caso, ela não converge. Isso significa que precisamos encontrar outra sequência Mn que seja mais adequada para o nosso caso.
Vamos tentar refinar nossa estimativa. Observando a expressão original:
sin (13^n x)
Sabemos que para pequenos valores de y, sin(y) approx y. Então, para x >= 1 e n grande, podemos aproximar:
sin (13^n x) approx 13^n x <= 13^n
Portanto,
|2^n sin (13^n x)| <= 2^n cdot 13^n = (23)^n
Agora, podemos escolher Mn = (23)^n.
Passo 7
Vamos verificar se a nova série sumn=1^infty Mn = sumn=1^infty (23)^n converge. Essa também é uma série geométrica, mas agora com razão r = 23. Como |r| = 23 < 1, a série geométrica converge.
Resposta
Como encontramos uma sequência Mn = (23)^n que limita |2^n sin (13^n x)| para todo x in [1, +infty[ e a série sumn=1^infty (23)^n converge, pelo Critério M de Weierstrass, a série sumn=1^infty 2^n sin (13^n x) converge de forma uniformemente no intervalo [1, +infty[.