Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados.
sumn=1^infty 2^n sin (13^n x) em [1,+infty[

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a série sumn=1^infty 2^n sin (13^n x) converge de forma uniforme no intervalo [1, +infty[ usando o Critério M de Weierstrass. Para isso, vamos precisar entender o que é o Critério M de Weierstrass e como aplicá-lo a essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o Critério M de Weierstrass. Esse critério é uma ferramenta poderosa para verificar a convergência uniforme de séries de funções. Ele diz o seguinte:
Se tivermos uma série de funções sumn=1^infty fn(x) e conseguimos encontrar uma sequência de números Mn tais que:
  1. Para todo x no intervalo considerado, |fn(x)| <= Mn.
  2. A série sumn=1^infty Mn converge.
Então, a série sumn=1^infty fn(x) converge de forma uniforme nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse critério à nossa série específica: sumn=1^infty 2^n sin (13^n x). Nosso objetivo é encontrar uma sequência Mn que seja um limite superior para |fn(x)| em todo o intervalo [1, +infty[ e que a soma desses Mn seja convergente.

Passo 4

Vamos começar vendo como podemos limitar o valor absoluto de cada termo da série:
|2^n sin (13^n x)| <= 2^n |sin (13^n x)|
Sabemos que o valor absoluto do seno de qualquer número é no máximo 1, ou seja, |sin(y)| <= 1 para todo y. Então,
2^n |sin (13^n x)| <= 2^n cdot 1 = 2^n
Portanto, podemos escolher Mn = 2^n.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série sumn=1^infty Mn = sumn=1^infty 2^n converge. Essa é uma série geométrica com razão r = 2. Sabemos que uma série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se e somente se |r| < 1. No nosso caso, r = 2 que é maior que 1, o que significa que a série sumn=1^infty 2^n diverge.

Passo 6

Aqui percebemos um problema: o Critério M de Weierstrass exige que a série dos Mn converge, mas no nosso caso, ela não converge. Isso significa que precisamos encontrar outra sequência Mn que seja mais adequada para o nosso caso.
Vamos tentar refinar nossa estimativa. Observando a expressão original:
sin (13^n x)
Sabemos que para pequenos valores de y, sin(y) approx y. Então, para x >= 1 e n grande, podemos aproximar:
sin (13^n x) approx 13^n x <= 13^n
Portanto,
|2^n sin (13^n x)| <= 2^n cdot 13^n = (23)^n
Agora, podemos escolher Mn = (23)^n.

Passo 7

Vamos verificar se a nova série sumn=1^infty Mn = sumn=1^infty (23)^n converge. Essa também é uma série geométrica, mas agora com razão r = 23. Como |r| = 23 < 1, a série geométrica converge.

Resposta

Como encontramos uma sequência Mn = (23)^n que limita |2^n sin (13^n x)| para todo x in [1, +infty[ e a série sumn=1^infty (23)^n converge, pelo Critério M de Weierstrass, a série sumn=1^infty 2^n sin (13^n x) converge de forma uniformemente no intervalo [1, +infty[.

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