Usando o Critério da Raiz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(\ln n)^{n}}
Pergunta: usando o Critério da Raiz, verificar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado fornece: os termos são da forma \dfrac{1}{(\ln n)^{n}}. Observação importante: \ln 1=0, o que tornaria o termo para n=1 indefinido; portanto é natural (e padrão) interpretar a série começando em n=2. Para n\ge2 cada termo é bem definido e positivo. A partir daqui vou aplicar o Critério da Raiz a a_n=\dfrac{1}{(\ln n)^{n}} para n\ge2.

Passo 2

Explicando o Critério da Raiz (passo a passo, como numa cola para a prova):
  • Seja (a_n) uma sequência de números reais (tipicamente aqui a_n\ge0). Definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}
(para termos positivos aqui o \limsup coincide com o limite se este existir).
  • Resultado do Critério da Raiz:
    • se L<1 então a série \sum a_n converge absolutamente (e portanto converge);
    • se L>1 então a série diverge;
    • se L=1 o critério é inconclusivo.
  • Intuição rápida: \sqrt[n]{a_n} mede uma “razão geométrica média” dos termos; se essa razão é menor que 1 no limite, os termos caem geometricamente e a série converge.

Passo 3

Agora aplico o critério ao nosso termo a_n=\dfrac{1}{(\ln n)^{n}} (para n\ge2). Primeiro calculo a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{1}{(\ln n)^{n}}}=\frac{1}{\ln n}.
Aqui usei a propriedade \sqrt[n]{x^{n}}=x para x>0. Note que para n\ge2 temos \ln n>0, então a expressão faz sentido e é positiva.

Passo 4

Calculo o limite (ou \limsup) da sequência \dfrac{1}{\ln n} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}=0,
porque \ln n\to\infty quando n\to\infty. Logo no Critério da Raiz obtemos
L=0<1.
Pelo enunciado do critério, isso implica que a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{(\ln n)^{n}} converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 5

Comentário prático e intuição: como \sqrt[n]{a_n}=1/\ln n tende a zero, os termos a_n caem muito mais rápido que uma progressão geométrica típica \rho^{n} com \rho<1. Por exemplo, para n grande, \ln n>2 então 1/(\ln n)^{n}<(1/2)^{n}; daí a cauda da nossa série é dominada por uma série geométrica convergente — outra maneira simples de ver a convergência do que o Critério da Raiz.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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