Usando o Critério da Raiz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado dá a série
Pergunta: usando o Critério da Raiz, verificar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado fornece: os termos são da forma
. Observação importante:
, o que tornaria o termo para
indefinido; portanto é natural (e padrão) interpretar a série começando em
. Para
cada termo é bem definido e positivo. A partir daqui vou aplicar o Critério da Raiz a
para
.
Passo 2
Explicando o Critério da Raiz (passo a passo, como numa cola para a prova):
- Seja
uma sequência de números reais (tipicamente aqui ). Definimos
(para termos positivos aqui o
coincide com o limite se este existir).
- Resultado do Critério da Raiz:
- se
então a série converge absolutamente (e portanto converge); - se
então a série diverge; - se
o critério é inconclusivo.
- se
- Intuição rápida:
mede uma “razão geométrica média” dos termos; se essa razão é menor que 1 no limite, os termos caem geometricamente e a série converge.
Passo 3
Agora aplico o critério ao nosso termo
(para
). Primeiro calculo a raiz
-ésima:
Aqui usei a propriedade
para
. Note que para
temos
, então a expressão faz sentido e é positiva.
Passo 4
Calculo o limite (ou
) da sequência
quando
:
porque
quando
. Logo no Critério da Raiz obtemos
Pelo enunciado do critério, isso implica que a série
converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 5
Comentário prático e intuição: como
tende a zero, os termos
caem muito mais rápido que uma progressão geométrica típica
com
. Por exemplo, para
grande,
então
; daí a cauda da nossa série é dominada por uma série geométrica convergente — outra maneira simples de ver a convergência do que o Critério da Raiz.
Resposta
Converge absolutamente (logo converge).