Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot \frac{1}{n^{2}}
e pede que verifiquemos se ela converge ou diverge usando o Critério de Leibniz. Informações dadas que importam para a verificação:
  • O termo geral é (-1)^{n}\cdot \dfrac{1}{n^{2}}.
  • A parte que controla o sinal é (-1)^{n}.
  • A parte que controla a magnitude é a_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}.

    O objetivo aqui é aplicar o Critério de Leibniz: checar as condições exigidas por esse critério para concluir sobre convergência.

Passo 2

Enunciado do Critério de Leibniz (em palavras e fórmula simples):

Seja uma série alternada da forma
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}\quad\text{ou}\quad\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n},
com a_{n}\ge 0 para todo n. O Critério de Leibniz diz que a série converge se duas condições são satisfeitas simultaneamente:
  1. a_{n} é monótona não crescente a partir de algum N, isto é, a_{n+1}\le a_{n} para todo n\ge N.
  2. \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

    Explicando rápido o porquê: uma série alternada com termos de magnitude decrescente que tendem a zero “vai-se anulando” progressivamente, e as somas parciais ficam presas num pequeno intervalo — é daí que vem a convergência. Agora vamos checar essas duas condições para a_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Verificação da alternância de sinais:

O fator (-1)^{n} alterna sinal a cada n: para n=1 temos (-1)^{1}=-1 (negativo), para n=2 temos (-1)^{2}=+1 (positivo), e assim por diante. Portanto a série é realmente alternada. (Isso satisfaz a parte “alternada” do enunciado do Critério.)

Passo 4

Verificação de que a_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} é positiva e monótona não crescente:

Primeiro, para todo n\ge1 temos a_{n}>0 porque n^{2}>0.

Agora comparar a_{n+1} com a_{n}:
a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}},\qquad a_{n}=\frac{1}{n^{2}}.
Como (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1>n^{2} para todo n\ge1, tomando recíprocos obtemos
\frac{1}{(n+1)^{2}}<\frac{1}{n^{2}}.
Portanto a_{n+1}<a_{n} para todo n\ge1: a sequência \{a_{n}\} é estritamente decrescente (logo monótona não crescente). Essa é a primeira condição do Critério verificada.

Passo 5

Verificação de \lim_{n\to\infty} a_{n}=0:

Temos
a_{n}=\frac{1}{n^{2}}.
À medida que n\to\infty, o denominador n^{2}\to\infty e o numerador fica fixo em 1, então a fração tende a 0. Formalmente, dado \varepsilon>0 basta escolher N>\sqrt{1/\varepsilon} para garantir que, para n\ge N,
\left|\frac{1}{n^{2}}-0\right|=\frac{1}{n^{2}}\le\frac{1}{N^{2}}<\varepsilon.
Logo \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0. Essa é a segunda condição do Critério de Leibniz.

Passo 6

Conclusão pelo Critério de Leibniz:

Como ambas as condições do Critério de Leibniz estão satisfeitas — a sequência de magnitudes a_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} é positiva, monótona decrescente e tende a zero — concluímos que a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot \frac{1}{n^{2}}
converge.

Passo 7

Observação adicional (útil para a prova): convergência absoluta

À parte do Critério de Leibniz, é bom notar que a série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\cdot\frac{1}{n^{2}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Esta é uma série p-com termo geral 1/n^{p} com p=2>1, logo esta série converge (por exemplo pelo Teste da Integral: \int_{1}^{\infty}x^{-2}\,dx=1 é finita). Como a soma dos módulos converge, a série original converge na verdade de forma absoluta, o que é uma informação mais forte do que apenas convergência condicional.

Resposta

Converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados