Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge, usando o Critério de Leibniz.
Informações dadas e o que devemos decidir:
Informações dadas e o que devemos decidir:
- A expressão geral dos termos é
. - Podemos identificar a parte positiva dos termos (a “magnitude”) como
- A pergunta é: essa série alternada converge ou diverge?
Passo 2
O que diz o Critério de Leibniz (explicação didática e prática):
- Considere uma série alternada na forma
com . - O Critério de Leibniz afirma: se (i)
é monótona decrescente (a partir de algum índice) e (ii) , então a série converge. - Importante: a condição
é necessária para que qualquer série (não só alternada) convirja. Se os termos não tendem a zero, a série diverge automaticamente.
Vou, portanto, antes de tentar checar monotonicidade, ver seou não. Se esse limite não for zero já encerramos: diverge.
Passo 3
Analisando o comportamento de
. Uma maneira clara de estudar se
tende a zero (ou cresce) é olhar a razão entre termos consecutivos:
Agora vamos ver o limite dessa razão quando
. É uma expressão clássica:
onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente
. Note que
.
Passo 4
Consequências do resultado da razão:
- Como
, para grande a razão é maior do que algum número com . Logo, para índices grandes os termos aumentam geometricamente (pelo menos multiplicando por um fator maior que a cada passo). - Isso implica que
não tende a zero; na verdade . Uma explicação curta e concreta: escolha com . Existe tal que, para todo , . Assim, para ,
Portanto
(na verdade diverge para
).
Passo 5
Conclusão com base no Critério de Leibniz e no requisito necessário para convergência:
- Pelo que vimos, a condição essencial
falha. Como regra geral, se os termos de uma série não tendem a zero, a série diverge; isso vale também para séries alternadas. - Portanto, não precisamos nem verificar monotonicidade: a série
diverge.
Resposta
A série diverge.