Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{n^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot\frac{n^{n}}{n!}
converge ou diverge, usando o Critério de Leibniz.
Informações dadas e o que devemos decidir:
  • A expressão geral dos termos é (-1)^{n}\cdot\frac{n^{n}}{n!}.
  • Podemos identificar a parte positiva dos termos (a “magnitude”) como
b_n=\frac{n^{n}}{n!}\quad\text{para }n\ge1.
  • A pergunta é: essa série alternada converge ou diverge?

Passo 2

O que diz o Critério de Leibniz (explicação didática e prática):
  • Considere uma série alternada na forma \sum (-1)^n b_n com b_n\ge0.
  • O Critério de Leibniz afirma: se (i) b_n é monótona decrescente (a partir de algum índice) e (ii) \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série converge.
  • Importante: a condição \lim_{n\to\infty} b_n = 0 é necessária para que qualquer série (não só alternada) convirja. Se os termos não tendem a zero, a série diverge automaticamente.
    Vou, portanto, antes de tentar checar monotonicidade, ver se \lim_{n\to\infty} b_n = 0 ou não. Se esse limite não for zero já encerramos: diverge.

Passo 3

Analisando o comportamento de b_n=\dfrac{n^{n}}{n!}. Uma maneira clara de estudar se b_n tende a zero (ou cresce) é olhar a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}/(n+1)!}{n^{\,n}/n!} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{\,n}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Agora vamos ver o limite dessa razão quando n\to\infty. É uma expressão clássica:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e,
onde e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente e\approx 2,718. Note que e>1.

Passo 4

Consequências do resultado da razão:
  • Como \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\to e>1, para n grande a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n} é maior do que algum número r com 1<r<e. Logo, para índices grandes os termos aumentam geometricamente (pelo menos multiplicando por um fator maior que 1 a cada passo).
  • Isso implica que b_n não tende a zero; na verdade b_n\to+\infty. Uma explicação curta e concreta: escolha r com 1<r<e. Existe N tal que, para todo n\ge N, \dfrac{b_{n+1}}{b_n}\ge r. Assim, para k\ge0,
b_{N+k}\ge b_N\,r^k \to +\infty \quad\text{quando }k\to\infty.
Portanto \lim_{n\to\infty} b_n \neq 0 (na verdade diverge para +\infty).

Passo 5

Conclusão com base no Critério de Leibniz e no requisito necessário para convergência:
  • Pelo que vimos, a condição essencial \lim_{n\to\infty} b_n = 0 falha. Como regra geral, se os termos de uma série não tendem a zero, a série diverge; isso vale também para séries alternadas.
  • Portanto, não precisamos nem verificar monotonicidade: a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot\frac{n^{n}}{n!}
diverge.

Resposta

A série diverge.

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