Se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente (o que implica que ela converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo (precisaria de outro critério).
Aqui, a ideia intuitiva é comparar o tamanho dos termos sucessivos: se cada termo fica proporcionalmente muito menor que o anterior (razão menor que 1), a soma tende a convergir. Agora vamos aplicar isso ao nosso a_k.
Passo 3
Calculemos a razão entre |a_{k+1}| e |a_k|. Primeiro escrevo os termos:
Agora simplifico passo a passo: dentro do módulo, \dfrac{(-1)^{k+1}}{(-1)^k}=(-1), cujo módulo é 1. E \dfrac{k!}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k+1}. Portanto, explicitamente,
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{1}{k+1}.
Passo 4
Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k+1}.
Como k+1 cresce sem bound, a fração \dfrac{1}{k+1} tende a 0. Logo
L=0.
Passo 5
Aplicando o critério da razão: encontramos L=0, que satisfaz L<1. Pelo critério, isso implica que a série converge absolutamente. Explico o que isso significa de forma simples: a série dos valores absolutos
converge. Quando a série dos valores absolutos converge, a série original também converge (não interessa o sinal alternado). Portanto a conclusão é que a série original converge.
Passo 6
Resumo útil para a prova (e um incentivo): você mostrou que a razão entre termos consecutivos é \dfrac{1}{k+1}, o limite disso é 0, e como 0<1 o critério da razão garante convergência absoluta — resultado forte e limpo, fácil de computar durante a prova. Dá pra fazer rapidinho e com poucas contas quando precisar.