Usando o critério da razão, determine a convergência ou divergência de:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!}
converge ou diverge. As informações que temos são:
  • o termo geral da série é a_k=\dfrac{(-1)^{k}}{k!};
  • a soma vai de k=1 até k\to\infty;
  • não há outros dados numéricos: precisamos analisar o comportamento do termo geral quando k cresce.

Passo 2

Vou apresentar o critério da razão (também conhecido como teste da razão), explicando bem devagar para você aplicar na prova sem medo.
O critério da razão diz o seguinte. Seja uma série com termo geral a_k. Definimos
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
  • Se L<1, a série \sum a_k converge absolutamente (o que implica que ela converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (precisaria de outro critério).
Aqui, a ideia intuitiva é comparar o tamanho dos termos sucessivos: se cada termo fica proporcionalmente muito menor que o anterior (razão menor que 1), a soma tende a convergir. Agora vamos aplicar isso ao nosso a_k.

Passo 3

Calculemos a razão entre |a_{k+1}| e |a_k|. Primeiro escrevo os termos:
a_k=\frac{(-1)^k}{k!},\qquad a_{k+1}=\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!}.
Como o critério usa valor absoluto, o sinal alternante (-1)^k some (valor absoluto de (-1)^k é 1). Então:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \left|\frac{(-1)^{k+1}/(k+1)!}{(-1)^k/k!}\right|.
Agora simplifico passo a passo: dentro do módulo, \dfrac{(-1)^{k+1}}{(-1)^k}=(-1), cujo módulo é 1. E \dfrac{k!}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k+1}. Portanto, explicitamente,
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{1}{k+1}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k+1}.
Como k+1 cresce sem bound, a fração \dfrac{1}{k+1} tende a 0. Logo
L=0.

Passo 5

Aplicando o critério da razão: encontramos L=0, que satisfaz L<1. Pelo critério, isso implica que a série converge absolutamente. Explico o que isso significa de forma simples: a série dos valores absolutos
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^k}{k!}\right|=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}
converge. Quando a série dos valores absolutos converge, a série original também converge (não interessa o sinal alternado). Portanto a conclusão é que a série original converge.

Passo 6

Resumo útil para a prova (e um incentivo): você mostrou que a razão entre termos consecutivos é \dfrac{1}{k+1}, o limite disso é 0, e como 0<1 o critério da razão garante convergência absoluta — resultado forte e limpo, fácil de computar durante a prova. Dá pra fazer rapidinho e com poucas contas quando precisar.

Resposta

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!}: converge absolutamente (logo converge).

Exercícios relacionados