Uma equação diferencial de primeira ordem
é chamada de homogênea quando a função
satisfaz a condição
para todo
; essas equações sempre podem ser reescritas na forma
ou
. Logo, basta fazer a mudança de variável
na penúltima (e
na última) para transformar a EDO homogênea em uma EDO separável. Use essas informações para resolver as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
Informações relevantes fornecidas:
O que se pede: encontrar a solução geral (implícita ou explícita)
da equação diferencial dada.
Passo 2
Escolha de substituição e razão: como a função do lado direito depende de
(veja o expoente
), usamos a mudança de variável recomendada para o caso
:
Agora precisamos escrever
em termos de
e
. Partimos de
. Diferenciando ambos os lados em relação a
usando a regra do quociente (ou produto):
Isolando
:
Simplificando usando
e
(porque
):
Esta fórmula é fundamental: ela relaciona a derivada
com
e
.
Passo 3
Reescrever o lado direito da EDO em termos de
e
. Temos
Substituindo
e
:
Logo o numerador fica
e o denominador
Cancelando
em numerador e denominador (assumindo
momentaneamente) obtemos
Passo 4
Agora igualamos a expressão de
obtida em termos de
(Passo 2) com a RHS reescrita em
(Passo 3):
Isolamos
:
Multiplicando por
:
Juntando termos sobre um denominador comum
e simplificando obtemos
Passo 5
A equação para
é separável. Colocamos os termos em
no lado esquerdo e
no direito:
Observe que o integrando à esquerda se decompõe bem:
Integramos ambos os lados:
A integral do primeiro termo é
. Para o segundo termo fazemos a substituição
, então
, logo
Portanto a integral completa dá
onde
é constante de integração.
Passo 6
Juntando os logaritmos:
Exponenciando e absorvendo o sinal em uma constante arbitrária
(podemos escrever
real não nulo),
Voltando à variável original (
), note que
. Assim uma forma simples da solução implícita é
com
constante arbitrária (real).