Uma equação diferencial de primeira ordem y^{\prime}=f(x, y) é chamada de homogênea quando a função f satisfaz a condição f(t x, t y)=f(x, y) para todo t; essas equações sempre podem ser reescritas na forma y^{\prime}=g(y / x) ou y^{\prime}=h(x / y). Logo, basta fazer a mudança de variável u=y / x na penúltima (e u=x / y na última) para transformar a EDO homogênea em uma EDO separável. Use essas informações para resolver as seguintes equações:
y^{\prime}=\frac{2 x y e^{(x / y)^{2}}}{y^{2}+y^{2} e^{(x / y)^{2}}+2 x^{2} e^{(x / y)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y'=\frac{2 x y e^{(x / y)^{2}}}{y^{2}+y^{2} e^{(x / y)^{2}}+2 x^{2} e^{(x / y)^{2}}}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{A equação é homogênea, ou seja, }f(tx,ty)=f(x,y).çãéê
O que se pede: encontrar a solução geral (implícita ou explícita) y(x) da equação diferencial dada.

Passo 2

Escolha de substituição e razão: como a função do lado direito depende de (x/y) (veja o expoente (x/y)^2), usamos a mudança de variável recomendada para o caso y'=h(x/y):
u=\frac{x}{y}.
Agora precisamos escrever y' em termos de u e du/dx. Partimos de u=x/y. Diferenciando ambos os lados em relação a x usando a regra do quociente (ou produto):
u=\frac{x}{y}\quad\Rightarrow\quad du/dx=\frac{1}{y}-\frac{x}{y^{2}}y'.
Isolando y':
\frac{x}{y^{2}}y'=\frac{1}{y}-\frac{du}{dx}\quad\Rightarrow\quad y'=\frac{y^{2}}{x}\Big(\frac{1}{y}-\frac{du}{dx}\Big).
Simplificando usando y/x=1/u e y^{2}/x=x/u^{2} (porque y=x/u):
y'=\frac{1}{u}-\frac{x}{u^{2}}\frac{du}{dx}.
Esta fórmula é fundamental: ela relaciona a derivada y' com u e du/dx.

Passo 3

Reescrever o lado direito da EDO em termos de u e x. Temos
\text{RHS}=\frac{2 x y e^{(x / y)^{2}}}{y^{2}+y^{2} e^{(x / y)^{2}}+2 x^{2} e^{(x / y)^{2}}}.
Substituindo y=x/u e u=x/y:
y^{2}=\frac{x^{2}}{u^{2}},\qquad e^{(x/y)^{2}}=e^{u^{2}}.
Logo o numerador fica
2 x y e^{u^{2}}=2 x\cdot\frac{x}{u}\,e^{u^{2}}=\frac{2x^{2}}{u}e^{u^{2}},
e o denominador
y^{2}+y^{2}e^{u^{2}}+2x^{2}e^{u^{2}}=x^{2}\Big(\frac{1+e^{u^{2}}}{u^{2}}+2e^{u^{2}}\Big).
Cancelando x^{2} em numerador e denominador (assumindo x\neq0 momentaneamente) obtemos
\text{RHS}=\frac{2u e^{u^{2}}}{1+e^{u^{2}}+2u^{2}e^{u^{2}}}.

Passo 4

Agora igualamos a expressão de y' obtida em termos de u (Passo 2) com a RHS reescrita em u (Passo 3):
\frac{1}{u}-\frac{x}{u^{2}}\frac{du}{dx}=\frac{2u e^{u^{2}}}{1+e^{u^{2}}+2u^{2}e^{u^{2}}}.
Isolamos \frac{du}{dx}:
\frac{x}{u^{2}}\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}-\frac{2u e^{u^{2}}}{1+e^{u^{2}}+2u^{2}e^{u^{2}}}.
Multiplicando por u^{2}/x:
\frac{du}{dx}=\frac{u}{x}\;-\;\frac{2u^{3}e^{u^{2}}}{x\big(1+e^{u^{2}}+2u^{2}e^{u^{2}}\big)}.
Juntando termos sobre um denominador comum \big(1+e^{u^{2}}+2u^{2}e^{u^{2}}\big) e simplificando obtemos
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\cdot\frac{u(1+e^{u^{2}})}{1+e^{u^{2}}+2u^{2}e^{u^{2}}}.

Passo 5

A equação para u é separável. Colocamos os termos em u no lado esquerdo e x no direito:
\frac{1+e^{u^{2}}+2u^{2}e^{u^{2}}}{u(1+e^{u^{2}})}\,du=\frac{dx}{x}.
Observe que o integrando à esquerda se decompõe bem:
\frac{1+e^{u^{2}}+2u^{2}e^{u^{2}}}{u(1+e^{u^{2}})} =\frac{1}{u}+\frac{2u e^{u^{2}}}{1+e^{u^{2}}}.
Integramos ambos os lados:
\int\Big(\frac{1}{u}+\frac{2u e^{u^{2}}}{1+e^{u^{2}}}\Big)\,du=\int\frac{dx}{x}.
A integral do primeiro termo é \ln|u|. Para o segundo termo fazemos a substituição w=e^{u^{2}}, então dw=2u e^{u^{2}}du, logo
\int\frac{2u e^{u^{2}}}{1+e^{u^{2}}}\,du=\int\frac{dw}{1+w}=\ln(1+w)=\ln\big(1+e^{u^{2}}\big).
Portanto a integral completa dá
\ln|u|+\ln\big(1+e^{u^{2}}\big)=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Juntando os logaritmos:
\ln\Big(|u|\big(1+e^{u^{2}}\big)\Big)=\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad \ln\Big(\frac{|u|(1+e^{u^{2}})}{|x|}\Big)=C.
Exponenciando e absorvendo o sinal em uma constante arbitrária K (podemos escrever K real não nulo),
\frac{u(1+e^{u^{2}})}{x}=K.
Voltando à variável original ( u=x/y), note que u/x=(x/y)/x=1/y. Assim uma forma simples da solução implícita é
\frac{1+e^{(x/y)^{2}}}{y}=C,
com C constante arbitrária (real).

Resposta

\displaystyle \frac{1+e^{(x/y)^{2}}}{y}=C

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