Calcule a solução geral de cada uma das equações diferenciais lineares:
y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime\prime}+4y^{\prime}=0.
Informações dadas:
\text{equação: }y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime\prime}+4y^{\prime}=0.çã
Não há condições iniciais; queremos a família geral de soluções (com constantes arbitrárias).

Passo 2

Método escolhido: equação linear homogênea com coeficientes constantes — usamos o polinômio característico. A ideia é substituir y^{(k)} por r^k para obter o polinômio característico. Aplicando isso à equação temos o polinômio
r^{3}+4r^{2}+4r=0.
Agora vamos factorizar esse polinômio para encontrar as raízes (os r que correspondem às soluções exponenciais).

Passo 3

Factorização do polinômio característico. Primeiro fatoramos r em evidência:
r^{3}+4r^{2}+4r = r\,(r^{2}+4r+4).
O quadrático r^{2}+4r+4 é um quadrado perfeito:
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2}.
Logo a factorização completa é
r\,(r+2)^{2}=0.
As raízes são \;r=0 (multiplicidade 1) e \;r=-2 (multiplicidade 2).

Passo 4

Regra para montar a solução geral: se r é uma raiz simples do polinômio característico, então e^{r x} é uma solução. Se r é raiz de multiplicidade m, então as m soluções linearmente independentes associadas são
e^{r x},\; x e^{r x},\; x^{2}e^{r x},\;\dots,\; x^{m-1}e^{r x}.
Aplicando à nossa fatoração:
  • Para r=0 (multiplicidade 1) temos a solução e^{0\cdot x}=1, isto é uma solução constante.
  • Para r=-2 (multiplicidade 2) temos duas soluções independentes e^{-2x} e x e^{-2x}.

Passo 5

Portanto a solução geral é a combinação linear das três soluções independentes encontradas. Escrevendo com constantes arbitrárias C_{1},C_{2},C_{3}:
y(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}e^{-2x} + C_{3}x e^{-2x}.
Podemos reescrever de forma equivalente como
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}x e^{-2x},
com C_{1},C_{2},C_{3} constantes reais.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}x e^{-2x}

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