Calcule a solução geral de cada uma das equações diferenciais lineares:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
Informações dadas:
Não há condições iniciais; queremos a família geral de soluções (com constantes arbitrárias).
Passo 2
Método escolhido: equação linear homogênea com coeficientes constantes — usamos o polinômio característico. A ideia é substituir
por
para obter o polinômio característico. Aplicando isso à equação temos o polinômio
Agora vamos factorizar esse polinômio para encontrar as raízes (os
que correspondem às soluções exponenciais).
Passo 3
Factorização do polinômio característico. Primeiro fatoramos
em evidência:
O quadrático
é um quadrado perfeito:
Logo a factorização completa é
As raízes são
(multiplicidade 1) e
(multiplicidade 2).
Passo 4
Regra para montar a solução geral: se
é uma raiz simples do polinômio característico, então
é uma solução. Se
é raiz de multiplicidade
, então as
soluções linearmente independentes associadas são
Aplicando à nossa fatoração:
- Para
(multiplicidade 1) temos a solução , isto é uma solução constante. - Para
(multiplicidade 2) temos duas soluções independentes e .
Passo 5
Portanto a solução geral é a combinação linear das três soluções independentes encontradas. Escrevendo com constantes arbitrárias
:
Podemos reescrever de forma equivalente como
com
constantes reais.