Usando o critério de Routh determine quais dentre os polinômios abaixo são estáveis, e para os instáveis determine o número de raízes em \mathrm{C}^{+}.
s^{5}+5 s^{4}+2 s^{3}+3 s^{2}+8 s+8

Passo 1

O enunciado fornece o polinômio a ser analisado:
s^{5}+5 s^{4}+2 s^{3}+3 s^{2}+8 s+8
Perguntas que o enunciado faz:
  • Determinar se o polinômio é estável.
  • Se for instável, determinar o número de raízes em \mathrm{C}^{+} (meio-plano direito).
As informações relevantes dadas:
  • Coeficientes do polinômio (do termo de maior grau ao termo constante): 1,\;5,\;2,\;3,\;8,\;8.

Passo 2

Breve aula sobre o critério de Routh (de forma direta e concreta):
  • O critério de Routh usa uma tabela (a tabela de Routh) construída a partir dos coeficientes do polinômio.
  • A regra prática: o número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh é igual ao número de raízes do polinômio com parte real positiva (ou seja, no meio-plano direito \mathrm{C}^{+}).
  • Se não houver mudanças de sinal na primeira coluna, todas as raízes têm parte real negativa e o sistema é estável.
  • Como construir um elemento genérico da tabela: suponha duas linhas consecutivas da tabela (linha A por cima e linha B logo abaixo), com entradas \text{Linha A: } a_1,\\ a_2,\\ a_3,\dots
\text{Linha B: } b_1,\\ b_2,\\ b_3,\dots
então o primeiro elemento da próxima linha (linha C) é dado por
c_1 = \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{b_1}.
Analogamente o segundo elemento da linha C é
c_2 = \frac{b_1 a_3 - a_1 b_3}{b_1},
e assim por diante. Aqui a_i,b_i,c_i são os elementos das respectivas linhas.

Passo 3

Extrair os coeficientes e formar as duas primeiras linhas da tabela (estas linhas são formadas diretamente a partir dos coeficientes, alternando-os):
  • Coeficientes: grau 5 a 0: 1,\;5,\;2,\;3,\;8,\;8.
  • Linha correspondente a s^{5} (pega coeficientes dos termos de grau ímpar decrescentes): \;1,\;2,\;8.
  • Linha correspondente a s^{4} (pega coeficientes dos termos de grau par decrescentes): \;5,\;3,\;8.
Então escrevemos:
\text{Linha } s^{5}:\;1,\;2,\;8
\text{Linha } s^{4}:\;5,\;3,\;8

Passo 4

Calcular a linha s^{3} usando a fórmula da aula:
  • Primeiro elemento da linha s^{3}: \frac{5\cdot 2 - 1\cdot 3}{5}=\frac{10-3}{5}=\frac{7}{5}.
  • Segundo elemento da linha s^{3}: \frac{5\cdot 8 - 1\cdot 8}{5}=\frac{40-8}{5}=\frac{32}{5}.
Portanto:
\text{Linha } s^{3}:\;\frac{7}{5},\;\frac{32}{5}
(Não há terceiro elemento significativo porque a linha acima tinha só três colunas; considera-se zero à direita quando necessário.)

Passo 5

Calcular a linha s^{2} usando as duas linhas acima ( s^{3} e s^{4}):
  • Primeiro elemento da linha s^{2}:
    apliquei a fórmula com a_1=5,\\ a_2=3,\\ b_1=\tfrac{7}{5},\\ b_2=\tfrac{32}{5}: \frac{\tfrac{7}{5}\cdot 3 - 5\cdot \tfrac{32}{5}}{\tfrac{7}{5}} =\frac{\tfrac{21}{5} - \tfrac{160}{5}}{\tfrac{7}{5}} =\frac{-\tfrac{139}{5}}{\tfrac{7}{5}} =-\frac{139}{7}.(Para ver o passo das frações: \tfrac{21}{5}-\tfrac{160}{5}=-\tfrac{139}{5}. Dividir por \tfrac{7}{5} é multiplicar por \tfrac{5}{7}, resultando em -139/7.)
  • Segundo elemento da linha s^{2}: \frac{\tfrac{7}{5}\cdot 8 - 5\cdot 0}{\tfrac{7}{5}} =\frac{\tfrac{56}{5}}{\tfrac{7}{5}}=\frac{56}{7}=8.
Portanto:
\text{Linha } s^{2}:\;-\frac{139}{7},\;8

Passo 6

Calcular a linha s^{1} usando as linhas s^{2} e s^{3}:
  • Primeiro elemento da linha s^{1}:
    usamos a_1=\tfrac{7}{5},\\ a_2=\tfrac{32}{5},\\ b_1=-\tfrac{139}{7},\\ b_2=8. A fórmula dá \frac{\left(-\tfrac{139}{7}\right)\cdot \tfrac{32}{5} - \tfrac{7}{5}\cdot 8}{-\tfrac{139}{7}}.Calculemos passo a passo: \left(-\tfrac{139}{7}\right)\cdot \tfrac{32}{5}=-\tfrac{4448}{35},
\tfrac{7}{5}\cdot 8=\tfrac{56}{5}=\tfrac{392}{35},
\text{numerador}=-\tfrac{4448}{35}-\tfrac{392}{35}=-\tfrac{4840}{35}.
Dividindo por -\tfrac{139}{7} (que é multiplicar por -\tfrac{7}{139}) obtemos
\left(-\tfrac{4840}{35}\right)\cdot\left(-\tfrac{7}{139}\right)=\tfrac{4840\cdot 7}{35\cdot 139}.
Simplificando \tfrac{4840}{35}=\tfrac{968}{7}, a expressão vira
\tfrac{968}{7}\cdot \tfrac{7}{139}=\tfrac{968}{139}.
Logo o primeiro elemento da linha s^{1} é \tfrac{968}{139}.
  • Segundo elemento da linha s^{1}:
    é obtido por \frac{\left(-\tfrac{139}{7}\right)\cdot 0 - \tfrac{7}{5}\cdot 0}{-\tfrac{139}{7}}=0.
Portanto:
\text{Linha } s^{1}:\;\frac{968}{139},\;0

Passo 7

A linha s^{0} é simplesmente o termo constante do polinômio (ou, alternativamente, o último elemento não nulo da coluna), ou seja:
\text{Linha } s^{0}:\;8
Agora listamos a primeira coluna inteira (que é o que interessa para o critério de Routh):
\begin{array}{l} s^{5}:\;1\\[4pt] s^{4}:\;5\\[4pt] s^{3}:\;\tfrac{7}{5}\\[4pt] s^{2}:\;-\tfrac{139}{7}\\[4pt] s^{1}:\;\tfrac{968}{139}\\[4pt] s^{0}:\;8 \end{array}]

Passo 8

Contagem das mudanças de sinal na primeira coluna (de cima para baixo):
  • 1 (positivo) para 5 (positivo): sem mudança.
  • 5 (positivo) para \tfrac{7}{5} (positivo): sem mudança.
  • \tfrac{7}{5} (positivo) para -\tfrac{139}{7} (negativo): 1ª mudança.
  • -\tfrac{139}{7} (negativo) para \tfrac{968}{139} (positivo): 2ª mudança.
  • \tfrac{968}{139} (positivo) para 8 (positivo): sem mudança.
Total de mudanças de sinal: 2.
Interpretação: existem exatamente 2 raízes com parte real positiva, ou seja, 2 raízes em \mathrm{C}^{+}. Como há raízes no meio-plano direito, o polinômio é instável.

Resposta

Instável — 2 raízes em \mathrm{C}^{+}

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