Usando o critério de Routh determine quais dentre os polinômios abaixo são estáveis, e para os instáveis determine o número de raízes em
.
s^{5}+5 s^{4}+2 s^{3}+3 s^{2}+8 s+8
s^{5}+5 s^{4}+2 s^{3}+3 s^{2}+8 s+8
Passo 1
O enunciado fornece o polinômio a ser analisado:
Perguntas que o enunciado faz:
- Determinar se o polinômio é estável.
- Se for instável, determinar o número de raízes em
(meio-plano direito).
As informações relevantes dadas:
- Coeficientes do polinômio (do termo de maior grau ao termo constante):
.
Passo 2
Breve aula sobre o critério de Routh (de forma direta e concreta):
- O critério de Routh usa uma tabela (a tabela de Routh) construída a partir dos coeficientes do polinômio.
- A regra prática: o número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh é igual ao número de raízes do polinômio com parte real positiva (ou seja, no meio-plano direito
). - Se não houver mudanças de sinal na primeira coluna, todas as raízes têm parte real negativa e o sistema é estável.
- Como construir um elemento genérico da tabela: suponha duas linhas consecutivas da tabela (linha A por cima e linha B logo abaixo), com entradas
então o primeiro elemento da próxima linha (linha C) é dado por
Analogamente o segundo elemento da linha C é
e assim por diante. Aqui
são os elementos das respectivas linhas.
Passo 3
Extrair os coeficientes e formar as duas primeiras linhas da tabela (estas linhas são formadas diretamente a partir dos coeficientes, alternando-os):
- Coeficientes: grau
a : . - Linha correspondente a
(pega coeficientes dos termos de grau ímpar decrescentes): . - Linha correspondente a
(pega coeficientes dos termos de grau par decrescentes): .
Então escrevemos:
Passo 4
Calcular a linha
usando a fórmula da aula:
- Primeiro elemento da linha
: - Segundo elemento da linha
:
Portanto:
(Não há terceiro elemento significativo porque a linha acima tinha só três colunas; considera-se zero à direita quando necessário.)
Passo 5
Calcular a linha
usando as duas linhas acima (
e
):
- Primeiro elemento da linha
:
apliquei a fórmula com: (Para ver o passo das frações: . Dividir por é multiplicar por , resultando em .) - Segundo elemento da linha
:
Portanto:
Passo 6
Calcular a linha
usando as linhas
e
:
- Primeiro elemento da linha
:
usamos. A fórmula dá Calculemos passo a passo:
Dividindo por
(que é multiplicar por
) obtemos
Simplificando
, a expressão vira
Logo o primeiro elemento da linha
é
.
- Segundo elemento da linha
:
é obtido por
Portanto:
Passo 7
A linha
é simplesmente o termo constante do polinômio (ou, alternativamente, o último elemento não nulo da coluna), ou seja:
Agora listamos a primeira coluna inteira (que é o que interessa para o critério de Routh):
Passo 8
Contagem das mudanças de sinal na primeira coluna (de cima para baixo):
-
(positivo) para (positivo): sem mudança. -
(positivo) para (positivo): sem mudança. -
(positivo) para (negativo): 1ª mudança. -
(negativo) para (positivo): 2ª mudança. -
(positivo) para (positivo): sem mudança.
Total de mudanças de sinal:
.
Interpretação: existem exatamente
raízes com parte real positiva, ou seja,
raízes em
. Como há raízes no meio-plano direito, o polinômio é instável.
Resposta
Instável — 2 raízes em