Usando o critério de Routh, determine se os polinômios característicos a seguir representam sistemas estáveis ou instáveis.
D(s)=s^{3}+12 s^{2}+20 s.

Passo 1

O enunciado pede: usando o critério de Routh, decidir se o polinômio característico \,D(s)=s^{3}+12 s^{2}+20 s\, representa um sistema estável ou instável.
Informações que temos (peguei os coeficientes diretamente do polinômio dado):
  • Grau do polinômio: 3.
  • Coeficientes em ordem decrescente de potência:
    • coeficiente de s^{3} é 1,
    • coeficiente de s^{2} é 12,
    • coeficiente de s^{1} é 20,
    • coeficiente de s^{0} (termo independente) é 0.
O objetivo: aplicar o critério de Routh para verificar se há raízes com parte real positiva (instabilidade) ou se todas têm parte real negativa (estabilidade). Se houver raízes na fronteira imaginária (por exemplo em s=0 ou no eixo imaginário), isso também precisa ser identificado, pois isso impede estabilidade assintótica.

Passo 2

Lembrete didático sobre o critério de Routh (explicando passo a passo, sem pular etapas):
  • O critério de Routh constrói uma tabela (a tabela de Routh) a partir dos coeficientes do polinômio \,D(s)\,.
  • A regra prática mais importante: o número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela é igual ao número de raízes de \,D(s)\, com parte real positiva (ou seja, polos no semiplano direito). Para o sistema ser assintoticamente estável (Hurwitz), todas as entradas da primeira coluna devem ser estritamente positivas (ou estritamente negativas, dependendo do sinal global), sem zeros.
  • Como construir as duas primeiras linhas: coloque os coeficientes alternados. Para um polinômio de grau n, a linha de s^{n} leva os coeficientes de s^{n}, s^{n-2}, s^{n-4},\dots e a linha de s^{n-1} leva os coeficientes de s^{n-1}, s^{n-3}, s^{n-5},\dots.
  • Para calcular um elemento genérico da tabela usa-se a fórmula de determinante: se na linha superior os elementos são a e b e na linha imediatamente inferior os elementos são c e d, o elemento da linha seguinte é \dfrac{c b - a d}{c} (essa é a forma típica; vamos aplicar diretamente ao nosso caso concreto).
  • Atenção a casos especiais: zeros na primeira coluna ou linhas inteiras nulas exigem procedimentos especiais (construir polinômio auxiliar etc.). Se aparecer um zero isolado na última linha (termo constante zero), normalmente isso indica raiz em s=0 (polos na fronteira).

Passo 3

Montagem das duas primeiras linhas da tabela de Routh para \,D(s)=s^{3}+12 s^{2}+20 s+0\,:
Linha s^{3} (coeficientes de s^{3}, s^{1}, \dots):
\text{linha }s^{3}:\quad 1 \qquad 20
Linha s^{2} (coeficientes de s^{2}, s^{0}, \dots):
\text{linha }s^{2}:\quad 12 \qquad 0
Essas linhas foram obtidas pegando os coeficientes alternados do polinômio (peguei-os do enunciado).

Passo 4

Calcular a entrada da linha s^{1} (primeira coluna) usando a fórmula. Para nosso caso temos na linha s^{3}: 1 e 20; na linha s^{2}: 12 e 0. O elemento da primeira coluna da linha s^{1} é
\frac{12\cdot 20 - 1\cdot 0}{12} = \frac{240}{12} = 20.
Portanto a linha s^{1} começa com 20. A segunda entrada dessa linha fica zero (não há mais coeficientes relevantes), então
\text{linha }s^{1}:\quad 20 \qquad 0.

Passo 5

A linha s^{0} (constante) contém o termo independente do polinômio, que aqui é 0. Pode-se também obter via fórmula:
\text{linha }s^{0}:\quad 0.
Agora escrevendo a primeira coluna completa, de cima para baixo, temos:
1,\;12,\;20,\;0.

Passo 6

Interpretação da primeira coluna segundo o critério de Routh:
  • Contamos mudanças de sinal indo do primeiro elemento até o último (ignorando zeros intermediários com tratamento especial). Aqui os elementos são 1>0, 12>0, 20>0 e finalmente 0.
  • Não há mudança de sinal positiva→negativa ou negativa→positiva entre os termos não-nulos: todos os termos não-nulos são positivos. Isso significa que não há raízes com parte real positiva (nenhum polo no semiplano direito).
  • Contudo, há um zero na última linha da primeira coluna (o termo constante é 0). Esse zero indica a presença de pelo menos um polo na fronteira imaginária, especificamente em s=0 (polo na origem). Um polo em s=0 impede a estabilidade assintótica (Hurwitz): o sistema não tem todos os polos com parte real estritamente negativa.

Passo 7

Conclusão adicional (verificação por fatoração, para ficar ainda mais claro): fatorando o polinômio obtém-se
D(s)=s^{3}+12 s^{2}+20 s = s\,(s^{2}+12 s+20).
Resolvendo a quadrática \,s^{2}+12s+20\, (discriminante 144-80=64, raiz quadrada 8) obtemos raízes s=-2 e s=-10. Assim as raízes de D(s) são
s=0,\; s=-2,\; s=-10.
Isso confirma o que o critério de Routh indicou: nenhum polo com parte real positiva, mas um polo exatamente em s=0.

Resposta

O sistema não é assintoticamente estável (não é Hurwitz): não há polos no semiplano direito, porém existe um polo em \,s=0 (marginalmente estável, estabilidade-limite), portanto não é estável no sentido assintótico.

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