Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(p), onde f e p são dados abaixo.
(a) f(x)=x^{2} e p=3.

Passo 1

Neste exercício, temos f(x)=x^2 e queremos calcular f'(p) no ponto p=3. O conteúdo central é a definição de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
f'(p) = \lim_{h\to 0} \frac{f(p+h)-f(p)}{h}.

Passo 3

Calculamos primeiro o numerador substituindo f(x)=x^2:
f(p+h) - f(p) = (p+h)^2 - p^2.

Passo 4

Expandindo e simplificando o numerador:
(p+h)^2 - p^2 = p^2 + 2ph + h^2 - p^2 = 2ph + h^2,
então
\frac{f(p+h)-f(p)}{h} = \frac{2ph + h^2}{h} = 2p + h.

Passo 5

Tomando o limite quando h\to 0, obtemos
f'(p) = \lim_{h\to 0} (2p + h) = 2p.

Passo 6

Finalmente, substituindo p=3, chega-se a
f'(3) = 2 \cdot 3 = 6.

Resposta

f'(3) = 6

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