Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(p), onde f e p são dados abaixo.
(b) f(x)=x^{3} e p=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^{3} no ponto p=2 usando a definição de derivada. Vamos precisar lembrar da fórmula do quociente de diferenças e, em seguida, avaliar o limite que define f'(2).

Passo 2

A definição de derivada no ponto p usando o incremento h é
f'(p) = \lim_{h\to0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h}.
Aqui, p=2, então
f'(2) = \lim_{h\to0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}.

Passo 3

Calculamos primeiro f(2+h) e f(2):
f(2+h) = (2+h)^{3} = 8 + 12h + 6h^{2} + h^{3},
f(2) = 2^{3} = 8.
Logo, o numerador do quociente de diferenças é
f(2+h) - f(2) = (8 + 12h + 6h^{2} + h^{3}) - 8 = 12h + 6h^{2} + h^{3}.

Passo 4

Agora montamos o quociente e simplificamos antes de tomar o limite:
\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{12h + 6h^{2} + h^{3}}{h} = 12 + 6h + h^{2}.
Tomando h \to 0, obtemos
\lim_{h\to0} (12 + 6h + h^{2}) = 12.

Resposta

f'(2) = 12

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