Usando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(p), onde f e p são dados abaixo.
(c) f(x)=\sqrt{x-1}, \quad p=3

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a derivada de
f(x)=\sqrt{x-1}
no ponto p=3 usando a definição de derivada. Vamos usar
f'(p)=\lim_{h\to0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}.

Passo 2

Aplicando a definição em p=3, obtemos
f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{(3+h)-1}-\sqrt{3-1}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt{2}}{h}.

Passo 3

Para calcular esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador, isto é, \sqrt{2+h}+\sqrt{2}:
\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt{2}}{h}\cdot\frac{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}} =\frac{(2+h)-2}{h\bigl(\sqrt{2+h}+\sqrt{2}\bigr)} =\frac{h}{h\bigl(\sqrt{2+h}+\sqrt{2}\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}.

Passo 4

Agora basta tomar h\to0:
f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} =\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Resposta

f'(3)=\frac{1}{2\sqrt{2}} \quad\text{(ou, racionalizando, }\frac{\sqrt{2}}{4}\text{).}

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