Usando a definição de derivada, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0. Se existir, determine f^prime(x0).
f(x)=x^3-4, x0=2

Passo 1

O enunciado nos pede para usar a definição de derivada em ,x0=2 para a função ,f(x)=x^3-4. Isso envolve calcular o limite
f'(2)=limhto0f(2+h)-f(2)h

Passo 2

Primeiro, avaliamos f(2):
f(2)=2^3-4=8-4=4

Passo 3

Em seguida, calculamos f(2+h):
f(2+h)=(2+h)^3-4=8+12h+6h^2+h^3-4=4+12h+6h^2+h^3

Passo 4

Formamos a diferença e dividimos por h:
f(2+h)-f(2)h =l(4+12h+6h^2+h^3r)-4h =12h+6h^2+h^3h =12+6h+h^2

Passo 5

Agora, tomamos o limite quando hto0:
f'(2)=limhto0l(12+6h+h^2r)=12

Resposta

f é derivável em x0=2 e f'(2)=12.

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