Calcule as seguintes integrais:
k) integral e^-3 x cdot sen(-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^-3x,sen(-x),dx
que envolve o produto de uma exponencial por uma função trigonométrica. Vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Observamos que sen(-x)=-sen x. Logo,
integral e^-3x,sen(-x),dx =-integral e^-3x,sen x,dx
Denotemos
I = integral e^-3x,sen x,dx

Passo 3

Para calcular I, escolhemos na integração por partes
u = sen x, dv = e^-3x,dx,
logo
du = cos x,dx, v = integral e^-3x,dx = -tfrac13e^-3x
Assim,
I = u,v - integral v,du = -tfrac13e^-3xsen x + tfrac13integral e^-3xcos x,dx
Definimos
J = integral e^-3xcos x,dx,
ficando
I = -tfrac13e^-3xsen x + tfrac13J

Passo 4

Agora calculamos J por partes, com
u = cos x, dv = e^-3x,dx,
portanto
du = -sen x,dx, v = -tfrac13e^-3x
Em seguida,
J = u,v - integral v,du = -tfrac13e^-3xcos x - integrall(-tfrac13e^-3xr)(-,sen x),dx = -tfrac13e^-3xcos x - tfrac13I

Passo 5

Substituindo J em I = -tfrac13e^-3xsen x + tfrac13J, temos
I = -tfrac13e^-3xsen x + tfrac13l(-tfrac13e^-3xcos x - tfrac13Ir) = -tfrac13e^-3xsen x - tfrac19e^-3xcos x - tfrac19I
Reorganizando,
I + tfrac19I = -tfrac13e^-3xsen x - tfrac19e^-3xcos x ;;Longrightarrow;; tfrac109I = -tfrac19e^-3x(3sen x + cos x)
Longrightarrow I = -e^-3x10,(3sen x + cos x) + C

Passo 6

Voltando à integral original,
integral e^-3x,sen(-x),dx =-I =e^-3x10,(3sen x + cos x) + C

Resposta

e^-3x10,l(3sen x+cos xr)+C

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