1. Calcular a área da região delimitada pelos gráficos das funções f(x)=sin (x) e g(x)=cos (x) no intervalo [0, pi].

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a área da região entre as curvas f(x)=sin(x) e g(x)=cos(x) no intervalo [0,pi]. Esse é um problema de área entre duas funções, então vamos usar a fórmula
A=integral0^pil|f(x)-g(x)r|,dx,
mas, como normalmente, primeiro temos que encontrar onde f e g se cruzam para saber em que subintervalos cada uma domina.

Passo 2

Igualamos
sin(x)=cos(x)
para achar o ponto de interseção. Isso dá
tan(x)=1Longrightarrow x=pi4,
único valor em [0,pi].

Passo 3

Precisamos saber quem está acima de quem em cada pedaço. Em x=0 temos cos(0)=1>0=sin(0), logo g(x)>= f(x) em [0,tfracpi4]. Em x=pi temos sin(pi)=0> -1=cos(pi), logo f(x)>= g(x) em [tfracpi4,pi]. Assim a área se escreve como soma de duas integrais:
A=integral0^pi/4l(cos x-sin xr),dx;+;integralpi/4^pil(sin x-cos xr),dx

Passo 4

Calculemos a primeira integral. A primitiva de cos x - sin x é sin x + cos x. Logo
I1=integral0^pi/4(cos x-sin x),dx =l[sin x+cos xr]0^pi/4 =(tfracraiz22+tfracraiz22)-(0+1) =raiz2-1

Passo 5

Agora a segunda integral. A primitiva de sin x - cos x é -cos x - sin x. Então
I2=integralpi/4^pi(sin x-cos x),dx =l[-cos x-sin xr]pi/4^pi =l[1-0r]-l[-tfracraiz22-tfracraiz22r] =1+raiz2

Passo 6

Somando as duas partes,
A=I1+I2=(raiz2-1)+(1+raiz2)=2raiz2

Resposta

A área da região é ,2raiz2.

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