Usando a definição, determine a derivada das funções abaixo em x=-1.
a) f(x)=3 xx-2
b) g(x)=1x^2

Passo 1

A questão pede para encontrar a derivada das funções f(x)=3xx-2 e g(x)=1x^2 no ponto x=-1 usando a definição de derivada. O conteúdo aqui é “definição de derivada num ponto”, onde aplicamos f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a Vamos usar isso para cada função.

Passo 2

Primeiro vamos com f(x)=3xx-2. Calculamos f(-1):
f(-1)=3(-1)-1-2=-3-3=1
O quociente de diferença fica:
f(x)-f(-1)x-(-1)=3xx-2-1x+1
Simplificando o numerador:
3xx-2-1=3x-(x-2)x-2=2x+2x-2=2(x+1)x-2
Logo o quociente é
2(x+1)/(x-2)x+1=2x-2
Fazendo xto-1
f'(-1)=limxto-12x-2=2-3=-23

Passo 3

Agora para g(x)=1x^2. Primeiro g(-1)=1/(-1)^2=1 O quociente de diferença é
g(x)-g(-1)x+1=1x^2-1x+1
Colocando num só numerador:
1x^2-1=1-x^2x^2=-(x^2-1)x^2=-(x-1)(x+1)x^2
Então
1x^2-1x+1=-(x-1)(x+1)x^2(x+1)=-x-1x^2
Ao levar xto-1 vem
g'(-1)=limxto-1l(-x-1x^2r)=--1-1(-1)^2=2

Resposta

f'(-1)=-tfrac23, g'(-1)=2.

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