Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região. y=sen x, y=e^x, x=0, x=pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por y=sin x, y=e^x, x=0 e x=pi/2. O conteúdo é cálculo de área por meio de integração de funções de x.

Passo 2

Primeiro esboçamos as curvas no intervalo [0,pi/2]: y=sin x cresce de 0 a 1, e y=e^x cresce de 1 a e^pi/2. Observamos que e^x>sin x em todo o intervalo.
Como as fronteiras verticais são x=0 e x=pi/2 e a região é entre duas funções de x, escolhemos integrar em relação a x.
Um retângulo típico tem base De e altura igual à diferença entre a função de cima e a de baixo, ou seja, e^x-sin x.

Passo 3

Montamos a integral da área:
A = integral0^pi/2 l(e^x - sin xr),dx

Passo 4

Para resolver, usamos as primitivas:
integral e^x dx = e^x, integral sin x,dx = -cos x
Logo,
A = [e^x + cos x]0^pi/2 = l(e^pi/2+cos(pi/2)r)-l(e^0+cos0r) = e^pi/2-2

Resposta

e^pi/2-2

Exercícios relacionados