Questāq(2)(6,0 pontos). Calcule as integrais abaixo sem apelo à parametrizaçōes, justificando as condiçōes de uso do Teorema de Cauchy-Goursat ou da Fórmula Integral de Cauchy:
, onde
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Enunciado e dados: calcular a integral
onde
é a circunferência
orientada no sentido anti-horário. Informações relevantes: o integrando é o polinômio
e a curva
é um laço fechado simples que corresponde à fronteira do disco unitário.
Passo 2
O que o problema pede: o valor numérico da integral de linha complexa ao longo da curva fechada
. Não vou parametrizar
; em vez disso vou usar resultados de análise complexa que nos permitem avaliar integrais sobre curvas fechadas quando a função é holomorfa.
Passo 3
Conceitos essenciais (aula rápida e direta):
- Dizemos que uma função
é holomorfa (ou analítica) em uma região se ela é complexamente diferenciável em todo ponto dessa região. Polinômios são holomorfos em toda a reta complexa . - Uma região é simplesmente conexa se qualquer curva fechada nela pode ser contraída a um ponto sem sair da região. O disco unitário e, de fato,
são simplesmente conexos. - Teorema usado (forma prática que vou aplicar): se
é holomorfa em uma região que contém uma curva fechada e o interior de , então possui primitiva nessa região e, como consequência, a integral de sobre é zero. Essa conclusão pode ser vista como consequência do Teorema de Cauchy-Goursat ou do fato de que uma primitiva satisfaz para curvas fechadas.
Passo 4
Verificação das hipóteses para o nosso caso:
- A função
é um polinômio, logo é holomorfa em toda . - A curva
é e seu interior é o disco . Como é holomorfa em toda , em particular é holomorfa em uma região que contém e seu interior.
Portanto as hipóteses do Teorema de Cauchy-Goursat (ou da existência de primitiva) estão satisfeitas.
Passo 5
Construção explícita da primitiva (para ficar bem claro): uma primitiva de
é uma função
tal que
. Podemos observar que
satisfaz
A função
é inteira (polinomial), portanto bem definida e única até uma constante aditiva em qualquer região conectada.
Passo 6
Aplicação do resultado fundamental: como
é primitiva de
e
é um laço fechado, a integral de
ao longo de
é
pois a integral de uma derivada ao longo de um caminho fechado dá
(mesmo ponto).
Passo 7
Resumo do raciocínio prático: não precisei parametrizar
. Usei que
é holomorfa no interior do disco unitário, construí uma primitiva explícita e conclui que a integral sobre a circunferência é zero por Cauchy-Goursat / existência de primitiva.
Resposta
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