Questāq(2)(6,0 pontos). Calcule as integrais abaixo sem apelo à parametrizaçōes, justificando as condiçōes de uso do Teorema de Cauchy-Goursat ou da Fórmula Integral de Cauchy:
\int_{\gamma}\left(3 z^{2}+2\right) d z, onde \gamma é a circunferência |z|=1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Enunciado e dados: calcular a integral
\int_{\gamma}\left(3 z^{2}+2\right)\,dz,
onde \gamma é a circunferência |z|=1 orientada no sentido anti-horário. Informações relevantes: o integrando é o polinômio 3z^{2}+2 e a curva \gamma é um laço fechado simples que corresponde à fronteira do disco unitário.

Passo 2

O que o problema pede: o valor numérico da integral de linha complexa ao longo da curva fechada \gamma. Não vou parametrizar \gamma; em vez disso vou usar resultados de análise complexa que nos permitem avaliar integrais sobre curvas fechadas quando a função é holomorfa.

Passo 3

Conceitos essenciais (aula rápida e direta):
  • Dizemos que uma função f é holomorfa (ou analítica) em uma região se ela é complexamente diferenciável em todo ponto dessa região. Polinômios são holomorfos em toda a reta complexa \mathbb{C}.
  • Uma região é simplesmente conexa se qualquer curva fechada nela pode ser contraída a um ponto sem sair da região. O disco unitário e, de fato, \mathbb{C} são simplesmente conexos.
  • Teorema usado (forma prática que vou aplicar): se f é holomorfa em uma região que contém uma curva fechada \gamma e o interior de \gamma, então f possui primitiva nessa região e, como consequência, a integral de f sobre \gamma é zero. Essa conclusão pode ser vista como consequência do Teorema de Cauchy-Goursat ou do fato de que uma primitiva F satisfaz \int_{\gamma} f(z)\,dz = F(z_{\text{final}})-F(z_{\text{inicial}})=0 para curvas fechadas.

Passo 4

Verificação das hipóteses para o nosso caso:
  • A função f(z)=3z^{2}+2 é um polinômio, logo é holomorfa em toda \mathbb{C}.
  • A curva \gamma é |z|=1 e seu interior é o disco \{z:|z|<1\}. Como f é holomorfa em toda \mathbb{C}, em particular é holomorfa em uma região que contém \gamma e seu interior.
    Portanto as hipóteses do Teorema de Cauchy-Goursat (ou da existência de primitiva) estão satisfeitas.

Passo 5

Construção explícita da primitiva (para ficar bem claro): uma primitiva de f é uma função F tal que F'(z)=f(z). Podemos observar que
F(z)=z^{3}+2z
satisfaz
F'(z)=3z^{2}+2=f(z).
A função F é inteira (polinomial), portanto bem definida e única até uma constante aditiva em qualquer região conectada.

Passo 6

Aplicação do resultado fundamental: como F é primitiva de f e \gamma é um laço fechado, a integral de f ao longo de \gamma é
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{\gamma} F'(z)\,dz = 0,
pois a integral de uma derivada ao longo de um caminho fechado dá F(z_{\text{final}})-F(z_{\text{inicial}})=0 (mesmo ponto).

Passo 7

Resumo do raciocínio prático: não precisei parametrizar \gamma. Usei que f é holomorfa no interior do disco unitário, construí uma primitiva explícita e conclui que a integral sobre a circunferência é zero por Cauchy-Goursat / existência de primitiva.

Resposta

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