Questā 1 (4,0 pontos). Calcule as integrais a seguir, parametrizando explicitamente os caminhos:
, onde
é o segmento de reta que liga 0 a
i. O Teorema Fundamental do Cálculo poderia ter sido aplicado? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral
, onde é o segmento de reta que liga a . - Dizer se o Teorema Fundamental do Cálculo poderia ter sido aplicado e explicar por quê.
Informações dadas:
- O integrando é
. - O caminho
é o segmento de reta de até (ou seja, é uma curva simples e suave parametrizável). - Não há outras restrições ou singularidades no integrando.
Passo 2
Vamos parametrizar explicitamente o segmento de reta que une
a
.
Explicação didática: um segmento de reta de um ponto
até um ponto
pode ser parametrizado por
com
. Aqui
e
, então
Significado das variáveis:
é o parâmetro real que percorre o segmento;
é o ponto complexo correspondente no plano para cada
.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização
.
Interpretação:
é o vetor (complexo) velocidade do percurso; é constante porque o segmento é retilíneo e parametrizado uniformemente.
Passo 4
Expressar a integral de linha pela parametrização.
Fórmula que usamos: se
é parametrizada por
com
, então
Aplicando ao caso
, obtemos
Passo 5
Substituir
e
na integral e simplificar a expressão.
Temos
, então
Também
. Portanto o integrando é
Passo 6
Calcular explicitamente
e
.
Cálculo passo a passo:
Logo
Podemos também expandir:
Passo 7
Substituir o valor numérico de
na integral e integrar em
.
Da etapa anterior
, então
Como
é constante complexa, podemos fatorá-lo:
Passo 8
Calcular a integral real
e finalizar.
Sabemos a primitiva de
em
é
. Portanto
Multiplicando pelo fator complexo:
Podemos também escrever
, se preferir.
Passo 9
Verificação via Teorema Fundamental do Cálculo (método alternativo curto) — e resposta à pergunta se ele poderia ter sido aplicado.
Observação: a função
é inteira (analítica em todo
) e tem uma primitiva global dada por
, porque
. O Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha complexas diz que, se
tem primitiva
em um aberto que contém a curva
, então
Aqui
e
. Assim
o que coincide com o resultado por parametrização.
Conclusão sobre a aplicação do teorema: Sim, o Teorema Fundamental do Cálculo poderia ter sido aplicado, porque
possui uma primitiva
em todo
(portanto em qualquer região que contenha
).
Resposta
Sim — porque