Questā 1 (4,0 pontos). Calcule as integrais a seguir, parametrizando explicitamente os caminhos:
\int_{\gamma} z^{2} d z, onde \gamma é o segmento de reta que liga 0 a 1+ i. O Teorema Fundamental do Cálculo poderia ter sido aplicado? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a integral \displaystyle \int_{\gamma} z^{2}\,dz, onde \gamma é o segmento de reta que liga 0 a 1+i.
  2. Dizer se o Teorema Fundamental do Cálculo poderia ter sido aplicado e explicar por quê.
Informações dadas:
  • O integrando é z^{2}.
  • O caminho \gamma é o segmento de reta de 0 até 1+i (ou seja, é uma curva simples e suave parametrizável).
  • Não há outras restrições ou singularidades no integrando.

Passo 2

Vamos parametrizar explicitamente o segmento de reta que une 0 a 1+i.
Explicação didática: um segmento de reta de um ponto a até um ponto b pode ser parametrizado por \gamma(t)=a+(b-a)t com t\in[0,1]. Aqui a=0 e b=1+i, então
\gamma(t) = (1+i)t,\quad t\in[0,1].
Significado das variáveis: t é o parâmetro real que percorre o segmento; \gamma(t) é o ponto complexo correspondente no plano para cada t.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização \gamma'(t).
\gamma(t)=(1+i)t é linear em t, logo
\gamma'(t)=1+i.
Interpretação: \gamma'(t) é o vetor (complexo) velocidade do percurso; é constante porque o segmento é retilíneo e parametrizado uniformemente.

Passo 4

Expressar a integral de linha pela parametrização.
Fórmula que usamos: se \gamma é parametrizada por \gamma(t) com t\in[a,b], então
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t))\,\gamma'(t)\,dt.
Aplicando ao caso f(z)=z^{2}, obtemos
\int_{\gamma} z^{2}\,dz = \int_{0}^{1} \big(\gamma(t)\big)^{2}\,\gamma'(t)\,dt.

Passo 5

Substituir \gamma(t) e \gamma'(t) na integral e simplificar a expressão.
Temos \gamma(t)=(1+i)t, então
\big(\gamma(t)\big)^{2} = \big((1+i)t\big)^{2} = t^{2}(1+i)^{2}.
Também \gamma'(t)=1+i. Portanto o integrando é
\big(\gamma(t)\big)^{2}\gamma'(t) = t^{2}(1+i)^{2}(1+i) = t^{2}(1+i)^{3}.

Passo 6

Calcular explicitamente (1+i)^{2} e (1+i)^{3}.
Cálculo passo a passo:
(1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i -1 = 2i.
Logo
(1+i)^{3} = (1+i)\cdot(1+i)^{2} = (1+i)\cdot 2i = 2i(1+i).
Podemos também expandir:
2i(1+i) = 2i + 2i^{2} = 2i - 2 = -2 + 2i.

Passo 7

Substituir o valor numérico de (1+i)^{3} na integral e integrar em t.
Da etapa anterior (1+i)^{3} = -2 + 2i, então
\int_{\gamma} z^{2}\,dz = \int_{0}^{1} t^{2}(-2+2i)\,dt.
Como -2+2i é constante complexa, podemos fatorá-lo:
\int_{0}^{1} t^{2}(-2+2i)\,dt = (-2+2i)\int_{0}^{1} t^{2}\,dt.

Passo 8

Calcular a integral real \int_{0}^{1} t^{2}\,dt e finalizar.
Sabemos a primitiva de t^{2} em \mathbb{R} é t^{3}/3. Portanto
\int_{0}^{1} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Multiplicando pelo fator complexo:
\int_{\gamma} z^{2}\,dz = (-2+2i)\cdot\frac{1}{3} = \frac{-2+2i}{3}.
Podemos também escrever \displaystyle \frac{2(-1+i)}{3}, se preferir.

Passo 9

Verificação via Teorema Fundamental do Cálculo (método alternativo curto) — e resposta à pergunta se ele poderia ter sido aplicado.
Observação: a função f(z)=z^{2} é inteira (analítica em todo \mathbb{C}) e tem uma primitiva global dada por F(z)=\dfrac{z^{3}}{3}, porque F'(z)=z^{2}. O Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha complexas diz que, se f tem primitiva F em um aberto que contém a curva \gamma, então
\int_{\gamma} f(z)\,dz = F\big(\gamma(1)\big) - F\big(\gamma(0)\big).
Aqui \gamma(1)=1+i e \gamma(0)=0. Assim
\int_{\gamma} z^{2}\,dz = \frac{(1+i)^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{-2+2i}{3},
o que coincide com o resultado por parametrização.
Conclusão sobre a aplicação do teorema: Sim, o Teorema Fundamental do Cálculo poderia ter sido aplicado, porque z^{2} possui uma primitiva F(z)=z^{3}/3 em todo \mathbb{C} (portanto em qualquer região que contenha \gamma).

Resposta

\displaystyle \frac{-2+2i}{3}
Sim — porque f(z)=z^{2} é inteira e admite primitiva F(z)=\dfrac{z^{3}}{3}, então a integral depende só dos extremos: F(1+i)-F(0)=\dfrac{(1+i)^{3}}{3}=\dfrac{-2+2i}{3}.

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