Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
\int_{1}^{7} \frac{d x}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, usando a definição de integral imprópria, se a integral
\int_{1}^{7}\frac{dx}{\sqrt{x}}
converge ou diverge. Se convergir, também pede para encontrar o valor numérico.
Informações dadas:
  • A função integranda é f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • O intervalo de integração é [1,7].

Passo 2

O que é uma integral imprópria (resumo didático e leve): existem dois motivos para uma integral ser chamada de impropria:
  1. o intervalo é ilimitado (por exemplo [1,\infty)); ou
  2. a integranda é não limitada (tem uma singularidade) em algum ponto do intervalo (por exemplo 1/\sqrt{x} em torno de x=0).
A definição formal usa limites. Se a singularidade estiver em um extremo direito b do intervalo [a,b], define-se
\int_{a}^{b} f(x)\,dx := \lim_{t\to b^-}\int_{a}^{t} f(x)\,dx,
e análogos para singularidades no extremo esquerdo ou intervalos infinitos. Dizemos que a integral converge se esse limite existir (finito).
No nosso caso, observe que \sqrt{x}>0 para todo x\in[1,7], logo f(x)=1/\sqrt{x} é contínua e limitada em todo [1,7]. Portanto NÃO há singularidade nem intervalo infinito: a integral é, na verdade, uma integral própria. Pelo teorema, toda integral de uma função contínua em um intervalo fechado é bem definida (converge). Se quisermos, podemos encaixá‑la na definição de integral imprópria escrevendo
\int_{1}^{7}\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{t\to7^-}\int_{1}^{t}\frac{dx}{\sqrt{x}},
essa limite existe porque a função é contínua; assim a integral converge.

Passo 3

Agora vamos calcular o valor. Primeiro, vamos achar uma primitiva de f(x)=x^{-1/2}. Usamos a regra de potências para integrais: para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui p=-\tfrac{1}{2}, então p+1=\tfrac{1}{2}. Aplicando a fórmula:
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=2x^{1/2}+C.
Ou seja, uma primitiva é F(x)=2\sqrt{x}.

Passo 4

Aplicamos agora o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{1}^{7}\frac{dx}{\sqrt{x}}=F(7)-F(1)=2\sqrt{7}-2\sqrt{1}.
Como \sqrt{1}=1, obtemos
\int_{1}^{7}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\bigl(\sqrt{7}-1\bigr).
Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{7}\approx 2{,}6458, então o valor aproximado é 2(\,2{,}6458-1\,)\approx 3{,}2916.

Passo 5

Conclusão final de análise: a integral converge (é própria, por integrando contínuo no intervalo fechado) e seu valor exato é 2(\sqrt{7}-1).

Resposta

Converge; valor = 2\bigl(\sqrt{7}-1\bigr)

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