Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, usando a definição de integral imprópria, se a integral
converge ou diverge. Se convergir, também pede para encontrar o valor numérico.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
.
Passo 2
O que é uma integral imprópria (resumo didático e leve): existem dois motivos para uma integral ser chamada de impropria:
- o intervalo é ilimitado (por exemplo
); ou - a integranda é não limitada (tem uma singularidade) em algum ponto do intervalo (por exemplo
em torno de ).
A definição formal usa limites. Se a singularidade estiver em um extremo direito
do intervalo
, define-se
e análogos para singularidades no extremo esquerdo ou intervalos infinitos. Dizemos que a integral converge se esse limite existir (finito).
No nosso caso, observe que
para todo
, logo
é contínua e limitada em todo
. Portanto NÃO há singularidade nem intervalo infinito: a integral é, na verdade, uma integral própria. Pelo teorema, toda integral de uma função contínua em um intervalo fechado é bem definida (converge). Se quisermos, podemos encaixá‑la na definição de integral imprópria escrevendo
essa limite existe porque a função é contínua; assim a integral converge.
Passo 3
Agora vamos calcular o valor. Primeiro, vamos achar uma primitiva de
. Usamos a regra de potências para integrais: para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
, então
. Aplicando a fórmula:
Ou seja, uma primitiva é
.
Passo 4
Aplicamos agora o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
Como
, obtemos
Se quiser uma aproximação numérica,
, então o valor aproximado é
.
Passo 5
Conclusão final de análise: a integral converge (é própria, por integrando contínuo no intervalo fechado) e seu valor exato é
.
Resposta
Converge; valor =