Dado os vetores:
\begin{gathered} \vec{a}=3 \hat{\imath}+2 \hat{k} \\\ \vec{b}=4 \hat{\imath}+4 \hat{\jmath}-2 \hat{k} \\\ \vec{c}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+3 \hat{k} \\\ \vec{d}=2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+5 \hat{k} \end{gathered}
Calcule (\vec{d} X \vec{c}) *(\vec{a}-\vec{b})

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores e pede para calcular o produto escalar entre o produto vetorial de \vec{d} por \vec{c} e a diferença \vec{a}-\vec{b}. Ou seja, calcular
(\vec{d}\times\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b}).
As informações fornecidas (peguei os coeficientes do enunciado) são:
\vec{a}=3\hat{\imath}+0\hat{\jmath}+2\hat{k},\qquad \vec{b}=4\hat{\imath}+4\hat{\jmath}-2\hat{k},
\vec{c}=1\hat{\imath}-2\hat{\jmath}+3\hat{k},\qquad \vec{d}=2\hat{\imath}-1\hat{\jmath}+5\hat{k}.
As perguntas: calcular (\vec{d}\times\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b}).

Passo 2

Escolha do método (já que o enunciado não impõe um método): vou proceder da forma mais direta e elementar que dá para fazer sem truques — primeiro calcular a diferença \vec{a}-\vec{b}, depois calcular o produto vetorial \vec{d}\times\vec{c} via determinante (fórmula componente-a-componente), e por fim calcular o produto escalar entre os dois vetores resultantes. Essa sequência é a mais básica e segura para a prova.

Passo 3

Escrever os vetores em coordenadas (componentes) para ficar claro:
\vec{a}=(3,\,0,\,2),\quad \vec{b}=(4,\,4,\,-2),\quad \vec{c}=(1,\,-2,\,3),\quad \vec{d}=(2,\,-1,\,5).
Aqui o formato (x,y,z) significa x na direção \hat{\imath}, y na direção \hat{\jmath} e z na direção \hat{k}.

Passo 4

Calcular a diferença \vec{a}-\vec{b} componente a componente. A regra é subtrair cada componente correspondente:
\vec{a}-\vec{b}=(3-4,\;0-4,\;2-(-2))=(-1,\,-4,\,4).
Explicando: x-componente =3-4=-1; y-componente =0-4=-4; z-componente =2-(-2)=2+2=4.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \vec{d}\times\vec{c}.
  • Lembrete da fórmula: para \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z),
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_y v_z - u_z v_y,\; u_z v_x - u_x v_z,\; u_x v_y - u_y v_x\big).
Cada componente é uma diferença de produtos cruzados. Essa operação dá um vetor perpendicular a \vec{u} e \vec{v}.
Aplicando com \vec{u}=\vec{d}=(2,-1,5) e \vec{v}=\vec{c}=(1,-2,3):
  • x-componente: u_y v_z - u_z v_y = (-1)\cdot 3 - 5\cdot(-2) = -3 + 10 = 7.
  • y-componente: u_z v_x - u_x v_z = 5\cdot 1 - 2\cdot 3 = 5 - 6 = -1.
  • z-componente: u_x v_y - u_y v_x = 2\cdot(-2) - (-1)\cdot 1 = -4 + 1 = -3.
Portanto
\vec{d}\times\vec{c}=(7,\,-1,\,-3).

Passo 6

Calcular o produto escalar entre \vec{d}\times\vec{c} e \vec{a}-\vec{b}.
  • Lembrete do produto escalar: para \vec{p}=(p_x,p_y,p_z) e \vec{q}=(q_x,q_y,q_z),
\vec{p}\cdot\vec{q}=p_x q_x + p_y q_y + p_z q_z.
É a soma dos produtos das componentes correspondentes; dá um número (escalar).
Usando \vec{d}\times\vec{c}=(7,-1,-3) e \vec{a}-\vec{b}=(-1,-4,4):
(\vec{d}\times\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b}) =7\cdot(-1)+(-1)\cdot(-4)+(-3)\cdot 4.
Calcular cada termo:
7\cdot(-1)=-7,\qquad (-1)\cdot(-4)=+4,\qquad (-3)\cdot 4=-12.
Somando:
-7+4-12 = -15.

Resposta

-15

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