Usando a definição de limite, demonstre que lim x 2 2 x^2=8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para resolver: . O assunto aqui é cálculo de limites usando a definição de limite. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar ela no nosso caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite. Diz que significa que, para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e . Vamos mostrar que, dado qualquer , podemos encontrar um que satisfaz essa condição.

Passo 3

Vamos começar calculando |2x^2 - 8| = |2(x^2 - 4)| = 2|x^2 - 4| = 2|x - 2||x + 2| :
2|x - 2||x + 2| < varepsilon
Queremos que isso seja menor que :

Passo 4

Agora, precisamos controlar os termos |x + 2| = |(x - 2) + 4| <= |x - 2| + 4 < 1 + 4 = 5 e . Para facilitar, vamos supor que . Isso implica que está perto de 2, então:
Então, .

Passo 5

Substituindo de volta na nossa desigualdade:
2|x - 2||x + 2| < 2|x - 2| times 5 = 10|x - 2| < varepsilon
Para que isso seja válido, precisamos que:
10|x - 2| < varepsilon Rightarrow |x - 2| < varepsilon10

Passo 6

Então, para garantir que de, podemos escolher:
Assim, sempre que , teremos , conforme a definição de limite.

Resposta

Portanto, mostramos que usando a definição de limite.

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