Usando a definição de limite, demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para resolver:
. O assunto aqui é cálculo de limites usando a definição de limite. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar ela no nosso caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite. Diz que
significa que, para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
No nosso caso,
,
e
. Vamos mostrar que, dado qualquer
, podemos encontrar um
que satisfaz essa condição.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 4
Agora, precisamos controlar os termos
e
. Para facilitar, vamos supor que
. Isso implica que
está perto de 2, então:
Então,
.
Passo 5
Substituindo de volta na nossa desigualdade:
Para que isso seja válido, precisamos que:
Passo 6
Então, para garantir que
, podemos escolher:
Assim, sempre que
, teremos
, conforme a definição de limite.
Resposta
Portanto, mostramos que
usando a definição de limite.