Usando a definição de limite, demonstre que lim x 5 12-x=-13

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de limites. A gente precisa mostrar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 5, a expressão se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite, que basicamente diz que podemos fazer a expressão ficar tão próxima quanto quisermos do valor limite, escolhendo suficientemente perto de 5.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite. Diz que significa que para todo (uma margem de erro pequena que a gente escolhe), existe um (uma distância próxima de ) tal que se , então . Aqui, e .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função | 12 - x + 13 | = | 3 + (2 - x)3(2 - x) | = | 5 - x3(2 - x) | . Queremos que . Primeiro, vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Queremos que | -(x - 5)3(2 - x) | = | x - 53(x - 2) | . Vamos simplificar mais isso. Primeiro, notamos que , então:

Passo 5

Agora, para que essa expressão seja menor que | x - 53(x - 2) | <= |x - 5|3 times 2 = |x - 5|6 , precisamos controlar os termos no denominador. Vamos supor que , o que implica que está entre 4 e 6. Assim, está entre 2 e 4, e está no mínimo 2. Então:

Passo 6

Queremos que . Multiplicando os dois lados por 6, temos . Mas lembre-se que já supomos . Então, para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas, vamos escolher .

Passo 7

Com esse | 12 - x - ( -13 ) | = | x - 53(x - 2) | <= |x - 5|6 < epsilon , se , então:
Isso mostra que, conforme se aproxima de 5, realmente se aproxima de .

Resposta

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