Mostre que a função f(x, y)=rllx^2-y^2x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0). é limitada no R^2.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
do conteúdo de funções de várias variáveis. Precisamos mostrar que existe um número M>0 tal que |f(x,y)|<= M para todo (x,y)inR^2.

Passo 2

Para começar, vamos relembrar a definição de função limitada: existe M>0 tal que
|f(x,y)|<= Mpara todo (x,y)inR^2
Nosso objetivo é encontrar um candidato a M e verificar essa desigualdade.

Passo 3

Analisando o caso (x,y)neq(0,0):
Usamos a desigualdade triangular aplicada aos termos x^2 e y^2:
|x^2-y^2|<= |x^2|+|y^2|=x^2+y^2
Logo, para (x,y)neq(0,0):
|f(x,y)|=|x^2-y^2x^2+y^2|<=x^2+y^2x^2+y^2=1

Passo 4

No ponto (0,0), temos diretamente f(0,0)=0, então
|f(0,0)|=0<=1
Isso mostra que em toda a reta R^2 vale |f(x,y)|<=1.

Passo 5

Portanto, podemos escolher M=1 e concluir que f é limitada em R^2, pois
|f(x,y)|<=1para todo (x,y)inR^2

Resposta

A função é limitada em R^2 e satisfaz |f(x,y)|<=1 para todo (x,y), logo pode-se tomar M=1.

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