Mostre que a função
. é limitada no
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função de duas variáveis
do conteúdo de funções de várias variáveis. Precisamos mostrar que existe um número
tal que
para todo
.
Passo 2
Para começar, vamos relembrar a definição de função limitada: existe
tal que
Nosso objetivo é encontrar um candidato a
e verificar essa desigualdade.
Passo 3
Analisando o caso
:
Usamos a desigualdade triangular aplicada aos termos e
:
Usamos a desigualdade triangular aplicada aos termos
Logo, para
:
Passo 4
No ponto
(0,0) , temos diretamente
f(0,0)=0 , então
Isso mostra que em toda a reta
R^2 vale
|f(x,y)|<=1 .
Passo 5
Portanto, podemos escolher
M=1 e concluir que
f é limitada em
R^2 , pois
Resposta
A função é limitada em
R^2 e satisfaz
|f(x,y)|<=1 para todo
(x,y) , logo pode-se tomar
M=1 .