Desenhe as imagens das seguintes curvas:
(d) gamma(t)=(t, cos t, sen t), t >= 0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
gammacolon[0,infty)toR^3 definida por
gamma(t)=(t,cos t,sin t).
O conteúdo aqui é curvas no espaço, e vamos precisar identificar a superfície que a curva percorre e como ela “enrola” à medida que t aumenta.

Passo 2

Das coordenadas y=cos t e z=sin t segue-se
y^2+z^2=cos^2t+sin^2t=1
Isso mostra que a imagem de gamma está contida no cilindro circular de raio 1 em torno do eixo x:
y^2+z^2=1

Passo 3

Como a coordenada x=t cresce sem limite quando ttoinfty, a curva vai avançando no sentido positivo de x. Simultaneamente, as projeções em y e z formam uma volta completa cada vez que t aumenta de 0 a 2pi. Portanto, a curva dá voltas helicoidais no cilindro, isto é, é uma hélice.

Passo 4

Para entender a orientação, observe pontos notáveis:
  • Em t=0: gamma(0)=(0,1,0).
  • Em t=tfracpi2: gamma(tfracpi2)=(tfracpi2,0,1).
  • Em t=pi: gamma(pi)=(pi,-1,0).
    Cada volta de 0 a 2pi gira no sentido anti-horário no plano yz visto do eixo x, enquanto x cresce de 0 a 2pi.

Passo 5

Para desenhar, esboce um cilindro de raio 1 com eixo x. Depois trace uma curva que parte de (0,1,0), envolve o cilindro completando voltas de passo 2pi em x, sempre girando no sentido anti-horário no corte yz, e continua para x>=0.

Resposta

A imagem de gamma é uma hélice de raio 1 sobre o cilindro
y^2+z^2=1,
avançando no sentido positivo de x e completando uma volta a cada incremento de 2pi em t.

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