Usando a definição para a transformada de Laplace, determinar Lf(t) para as funções abaixo:
f(t)= 2 t+1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1

Passo 1

A função é peça a peça e queremos a transformada de Laplace pela definição. Lembrando que para qualquer função g(t) temos Lg(t)=\int_0^\infty g(t)e^{-st},dt). Aqui f(t)=2t+1 em 0<= t<1 e zero depois, então basta calcular integral0^1(2t+1)e^-stdt. Para isso vamos usar integração por partes.

Passo 2

Escrevemos diretamente a integral da definição restringida a [0,1]:
Lf(t)=integral0^infty f(t)e^-stdt=integral0^1(2t+1)e^-stdt

Passo 3

Para integrar integral(2t+1)e^-stdt, separamos em
integral2t,e^-stdt+integral e^-stdt
Na primeira parte usamos integração por partes: escolhendo u=2t e dv=e^-stdt du=2dt e v=-tfrac1s e^-st.

Passo 4

Aplicando a fórmula integral u,dv=uv-integral v,du e somando a segunda integral:
integral(2t+1)e^-stdt=-e^-stl(2ts+2s^2r)-1s e^-st+C =-e^-stl(2ts+2s^2+1sr)+C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1 e subtraímos: no limite t=1 temos -e^-s(2/s+2/s^2+1/s)=-e^-s(3/s+2/s^2), e em t=0 -1cdot(0+2/s^2+1/s)=-(2/s^2+1/s). Fazendo a diferença e simplificando:
Lf(t)=l(1s+2s^2r)-e^-sl(3s+2s^2r)

Resposta

Lf(t)=1s+2s^2-e^-sl(3s+2s^2r) = s+2s^2-e^-s3s+2s^2

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