Usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
\mathcal{L}\left\{\operatorname{cosh} (a t)\right\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}, s>a

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace de \operatorname{cosh}(at) é \dfrac{s}{s^{2}-a^{2}} e que a fórmula é válida para s>a.\n
Informações dadas:
\operatorname{cosh}(at) é a função que aparece no enunciado; a é um parâmetro (assumimos a real) e s é a variável da transformada de Laplace.\n
Também usaremos a definição da transformada de Laplace: \mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.

Passo 2

Escrevemos a definição da transformada e a representação exponencial de \operatorname{cosh}(at).\n
A definição é
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
A identidade para o cosseno hiperbólico é
\operatorname{cosh}(at)=\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}.
Aqui t é a variável de tempo, a é o parâmetro que multiplica t, e s é a constante que aparece no núcleo e^{-st} da transformada.

Passo 3

Substituímos \operatorname{cosh}(at) na integral da transformada e usamos a linearidade da integral (podemos distribuir integrais sobre soma e fator constante para fora).\n
Temos
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\frac{e^{at}+e^{-at}}{2}\,dt.
Colocando o fator 1/2 para fora e separando a soma:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}\,dt+\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{-at}\,dt\right).
Simplificando as potências:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\,dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(s+a)t}\,dt\right).

Passo 4

Agora calculamos as integrais do tipo \int_{0}^{\infty}e^{-kt}\,dt. Vou mostrar a conta para esse caso geral, e depois aplico com k=s-a e k=s+a.\n
Para \Re(k)>0 (condição que garante convergência), temos
\int_{0}^{\infty}e^{-kt}\,dt=\left[-\frac{1}{k}e^{-kt}\right]_{0}^{\infty}.
Quando \Re(k)>0, e^{-kt}\to 0 quando t\to\infty, então a avaliação dá
\int_{0}^{\infty}e^{-kt}\,dt=0-\left(-\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{k}.
Aplicando isso aos nossos casos: para o primeiro integrando k=s-a precisamos de \Re(s-a)>0, ou seja s>a (assumindo a real). Para o segundo integrando k=s+a precisamos de \Re(s+a)>0, que é s>-a. Se a é real e queremos uma única condição simples que garanta ambas, é suficiente s>|a|; o enunciado pede s>a, então estamos considerando a\ge 0 ou adotando a condição s>a conforme dado.

Passo 5

Substituímos os resultados das integrais na expressão obtida no Passo 3.\n
Temos
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\right),
válido quando s>a (ou mais geralmente s>|a|). Agora fazemos a soma das frações:\n
Colocando denominador comum (s-a)(s+a)=s^{2}-a^{2},
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+a)+(s-a)}{s^{2}-a^{2}}.
No numerador (s+a)+(s-a)=2s, então
\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^{2}-a^{2}}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}}.

Passo 6

Concluímos que
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}},
com a condição de convergência s>a (ou mais corretamente s>|a| se a for arbitrário real). Boa! Você acabou de ver passo a passo como usar a definição, a identidade exponencial de \operatorname{cosh}, linearidade da integral e a avaliação de integrais exponenciais para obter o resultado.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}},\\ s>a

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