Usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace de
é
e que a fórmula é válida para
.\n
Informações dadas:
é a função que aparece no enunciado;
é um parâmetro (assumimos
real) e
é a variável da transformada de Laplace.\n
Também usaremos a definição da transformada de Laplace: .
Informações dadas:
Também usaremos a definição da transformada de Laplace:
Passo 2
Escrevemos a definição da transformada e a representação exponencial de
.\n
A definição é
A definição é
A identidade para o cosseno hiperbólico é
Aqui
é a variável de tempo,
é o parâmetro que multiplica
, e
é a constante que aparece no núcleo
da transformada.
Passo 3
Substituímos
na integral da transformada e usamos a linearidade da integral (podemos distribuir integrais sobre soma e fator constante para fora).\n
Temos
Temos
Colocando o fator
para fora e separando a soma:
Simplificando as potências:
Passo 4
Agora calculamos as integrais do tipo
. Vou mostrar a conta para esse caso geral, e depois aplico com
e
.\n
Para (condição que garante convergência), temos
Para
Quando
,
quando
, então a avaliação dá
Aplicando isso aos nossos casos: para o primeiro integrando
precisamos de
, ou seja
(assumindo
real). Para o segundo integrando
precisamos de
, que é
. Se
é real e queremos uma única condição simples que garanta ambas, é suficiente
; o enunciado pede
, então estamos considerando
ou adotando a condição
conforme dado.
Passo 5
Substituímos os resultados das integrais na expressão obtida no Passo 3.\n
Temos
Temos
válido quando
(ou mais geralmente
). Agora fazemos a soma das frações:\n
Colocando denominador comum ,
Colocando denominador comum
No numerador
, então
Passo 6
Concluímos que
com a condição de convergência
(ou mais corretamente
se
for arbitrário real). Boa! Você acabou de ver passo a passo como usar a definição, a identidade exponencial de
, linearidade da integral e a avaliação de integrais exponenciais para obter o resultado.