P6.50 Determine a tensão máxima de flexão de traçāo e compressão na viga se ela estiver sujeita a um momento
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a tensão máxima de flexão de tração e de compressão numa viga sujeita a um momento
.
Informações dadas:
- Momento aplicado:
.
Observação importante (não vou te perguntar nada): o enunciado só fornece o momento. Para obter um valor numérico da tensão precisamos também de propriedades da seção transversal (em particular o momento de inércia
da seção em relação ao eixo neutro e a distância
do eixo neutro até a fibra mais distante). Como o enunciado foi dado assim, vou resolver de forma geral e te mostrar exatamente como calcular o valor numérico quando você tiver
e
. Também mostro a forma usando o módulo de seção
, que é a forma prática usada em engenharia.
Passo 2
Conceito básico — distribuição de deformações na flexão:
Quando uma viga é submetida a um momento puro, as fibras longitudinais alongam ou comprimem linearmente em função da distância ao eixo neutro. Ou seja, a deformação longitudinal em uma fibra a uma distância
do eixo neutro varia linearmente com
. Matematicamente:
Quando uma viga é submetida a um momento puro, as fibras longitudinais alongam ou comprimem linearmente em função da distância ao eixo neutro. Ou seja, a deformação longitudinal
onde:
-
é a deformação longitudinal na fibra a distância , -
é a curvatura da viga (taxa de variação do ângulo), -
é a coordenada da fibra medida a partir do eixo neutro (positivo para um lado, negativo para o outro).
Explicação intuitiva: se a viga curva, uma fibra acima do eixo neutro pode ficar comprimida () e uma abaixo ficar esticada ( ), e a variação é proporcional à distância .
Passo 3
Ligação tensão–deformação (Lei de Hooke linear elástica) e expressão da tensão longitudinal:
Para material elástico linear, a tensão longitudinal é proporcional à deformação:
Para material elástico linear, a tensão longitudinal
onde
é o módulo de elasticidade do material. Substituindo
da etapa anterior:
Aqui:
-
é a tensão normal (positiva em tração, convencionalmente), - o sinal negativo mostra que o sentido da tensão depende do sinal de
e da curvatura .
Passo 4
Equilíbrio do momento interno com o momento aplicado:
O momento interno resistente é obtido integrando as tensões vezes a distância ao eixo neutro:
O momento interno resistente
Substituindo
:
Reconhecemos o momento de inércia da área em relação ao eixo neutro:
Portanto:
Passo 5
Expressão da curvatura e da tensão em função do momento:
Da equação anterior isolamos a curvatura:
Da equação anterior isolamos a curvatura:
Substituindo
na expressão da tensão
:
Então chegamos à fórmula clássica da flexão (fórmula da flexão simples):
Interpretação das variáveis:
-
é o momento interno aplicado (em N·m ou N·mm), -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (em m^4 ou mm^4), -
é a distância da fibra ao eixo neutro (em m ou mm), -
tem unidade de pressão (N/m^2 = Pa ou N/mm^2 = MPa).
Passo 6
Tensão máxima (fibras extremas) — tração e compressão:
A tensão máxima em magnitude ocorre na fibra mais distante do eixo neutro, ou seja, em , onde
é a distância do eixo neutro até a fibra extrema. Assim:
A tensão máxima em magnitude ocorre na fibra mais distante do eixo neutro, ou seja, em
Como a distribuição de tensões é linear e muda de sinal atravessando o eixo neutro, as máximas de tração e compressão têm a mesma magnitude e sinais opostos. Então, escrevemos:
ou, dependendo da convenção de sinal que você usa, pode inverter o sinal — o importante é que os módulos são iguais:
Passo 7
Forma prática usando o módulo de seção:
Engenheiros costumam definir o módulo de seção como
Engenheiros costumam definir o módulo de seção
Assim a fórmula fica ainda mais direta:
Explicação:
já reúne a geometria da seção de forma que, conhecendo
, basta dividir o momento
por
para achar a tensão máxima.
Passo 8
Aplicando o valor numérico do momento fornecido:
O enunciado deu . Em unidades SI básicas isso é
O enunciado deu
Se você conhecer
(em
) e
(em
), substitua na fórmula:
Ou, usando
:
Observação prática sobre unidades: se
estiver em
, o resultado vem em
(Pa). Muitas vezes se usa
e
: então converta
para
(multiplicando por
) para manter consistência.
Passo 9
Exemplo rápido (para fixar a ideia):
Suponha que a seção tenha (apenas exemplo). Então
Suponha que a seção tenha
Isto ilustra que, com
conhecido, o cálculo é direto.