P6.50 Determine a tensão máxima de flexão de traçāo e compressão na viga se ela estiver sujeita a um momento M=6 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão máxima de flexão de tração e de compressão numa viga sujeita a um momento M=6\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
Informações dadas:
  • Momento aplicado: M=6\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
Observação importante (não vou te perguntar nada): o enunciado só fornece o momento. Para obter um valor numérico da tensão precisamos também de propriedades da seção transversal (em particular o momento de inércia I da seção em relação ao eixo neutro e a distância c do eixo neutro até a fibra mais distante). Como o enunciado foi dado assim, vou resolver de forma geral e te mostrar exatamente como calcular o valor numérico quando você tiver I e c. Também mostro a forma usando o módulo de seção S=I/c, que é a forma prática usada em engenharia.

Passo 2

Conceito básico — distribuição de deformações na flexão:
Quando uma viga é submetida a um momento puro, as fibras longitudinais alongam ou comprimem linearmente em função da distância ao eixo neutro. Ou seja, a deformação longitudinal \varepsilon_x em uma fibra a uma distância y do eixo neutro varia linearmente com y. Matematicamente:
\varepsilon_x = -\kappa\,y,
onde:
  • \varepsilon_x é a deformação longitudinal na fibra a distância y,
  • \kappa é a curvatura da viga (taxa de variação do ângulo),
  • y é a coordenada da fibra medida a partir do eixo neutro (positivo para um lado, negativo para o outro).
    Explicação intuitiva: se a viga curva, uma fibra acima do eixo neutro pode ficar comprimida ( \varepsilon<0) e uma abaixo ficar esticada ( \varepsilon>0), e a variação é proporcional à distância y.

Passo 3

Ligação tensão–deformação (Lei de Hooke linear elástica) e expressão da tensão longitudinal:
Para material elástico linear, a tensão longitudinal \sigma_x é proporcional à deformação:
\sigma_x = E\,\varepsilon_x,
onde E é o módulo de elasticidade do material. Substituindo \varepsilon_x da etapa anterior:
\sigma_x = -E\,\kappa\,y.
Aqui:
  • \sigma_x é a tensão normal (positiva em tração, convencionalmente),
  • o sinal negativo mostra que o sentido da tensão depende do sinal de y e da curvatura \kappa.

Passo 4

Equilíbrio do momento interno com o momento aplicado:
O momento interno resistente M é obtido integrando as tensões vezes a distância ao eixo neutro:
M = \int_A \sigma_x\,y\,\mathrm{d}A.
Substituindo \sigma_x = -E\kappa y:
M = \int_A (-E\kappa y)\,y\,\mathrm{d}A = -E\kappa \int_A y^2\,\mathrm{d}A.
Reconhecemos o momento de inércia da área em relação ao eixo neutro:
I = \int_A y^2\,\mathrm{d}A.
Portanto:
M = -E\kappa I.

Passo 5

Expressão da curvatura e da tensão em função do momento:
Da equação anterior isolamos a curvatura:
\kappa = -\dfrac{M}{E I}.
Substituindo \kappa na expressão da tensão \sigma_x = -E\kappa y:
\sigma_x = -E\left(-\dfrac{M}{E I}\right) y = \dfrac{M}{I}\,y.
Então chegamos à fórmula clássica da flexão (fórmula da flexão simples):
\boxed{\sigma_x = \dfrac{M}{I}\,y.}
Interpretação das variáveis:
  • M é o momento interno aplicado (em N·m ou N·mm),
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro (em m^4 ou mm^4),
  • y é a distância da fibra ao eixo neutro (em m ou mm),
  • \sigma_x tem unidade de pressão (N/m^2 = Pa ou N/mm^2 = MPa).

Passo 6

Tensão máxima (fibras extremas) — tração e compressão:
A tensão máxima em magnitude ocorre na fibra mais distante do eixo neutro, ou seja, em y=\pm c, onde c é a distância do eixo neutro até a fibra extrema. Assim:
\sigma_{\max} = \dfrac{M}{I}\,c.
Como a distribuição de tensões é linear e muda de sinal atravessando o eixo neutro, as máximas de tração e compressão têm a mesma magnitude e sinais opostos. Então, escrevemos:
\sigma_{\text{tração,max}} = -\dfrac{M c}{I},\qquad \sigma_{\text{compressão,max}} = +\dfrac{M c}{I},çãã
ou, dependendo da convenção de sinal que você usa, pode inverter o sinal — o importante é que os módulos são iguais:
|\sigma_{\text{tração,max}}| = |\sigma_{\text{compressão,max}}| = \dfrac{M c}{I}.çãã

Passo 7

Forma prática usando o módulo de seção:
Engenheiros costumam definir o módulo de seção S como
S=\dfrac{I}{c}.
Assim a fórmula fica ainda mais direta:
\boxed{\sigma_{\max} = \dfrac{M}{S}}.
Explicação: S já reúne a geometria da seção de forma que, conhecendo S, basta dividir o momento M por S para achar a tensão máxima.

Passo 8

Aplicando o valor numérico do momento fornecido:
O enunciado deu M=6\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}. Em unidades SI básicas isso é
M = 6\times10^{3}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.
Se você conhecer I (em \mathrm{m}^4) e c (em \mathrm{m}), substitua na fórmula:
\sigma_{\text{tração,max}} = -\dfrac{6\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}\; c}{I}, \qquad \sigma_{\text{compressão,max}} = +\dfrac{6\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}\; c}{I}.çãã
Ou, usando S=I/c:
\sigma_{\max} = \dfrac{6\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}}{S}.
Observação prática sobre unidades: se S estiver em \mathrm{m}^3, o resultado vem em \mathrm{N/m}^2 (Pa). Muitas vezes se usa \mathrm{mm} e \mathrm{mm}^3: então converta M para \mathrm{N\cdot mm} (multiplicando por 10^3) para manter consistência.

Passo 9

Exemplo rápido (para fixar a ideia):
Suponha que a seção tenha S=2\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3 (apenas exemplo). Então
\sigma_{\max}=\dfrac{6\times10^{3}}{2\times10^{-4}}\\ \mathrm{N/m^2} = 3\times10^{7}\\ \mathrm{N/m^2} = 30\\ \mathrm{MPa}.
Isto ilustra que, com S conhecido, o cálculo é direto.

Resposta

\sigma_{\text{tração,max}} = -\dfrac{M\,c}{I} = -\dfrac{6\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}\; c}{I}çã\n \sigma_{\text{compressão,max}} = +\dfrac{M\,c}{I} = +\dfrac{6\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}\; c}{I}ã

Exercícios relacionados