Usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
Passo 1
O que o enunciado pede: provar, usando a definição, que
Informações dadas: a função a transformar é
(hiperbolic sine com parâmetro
); a definição de Transformada de Laplace será usada diretamente. O enunciado já indica a condição
para convergência.
Passo 2
Definição que vamos usar (aula rápida): a Transformada de Laplace de uma função
é
desde que a integral convirja. Aqui
é a variável complexa (ou real) da transformada; para que a integral do tipo
convirja precisamos de
. Também precisamos da definição da função hiperbólica: por definição,
Vou aplicar essas duas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Substituo
na integral da Laplace:
Fatorando o
e combinando exponenciais:
Passo 4
Agora usamos a fórmula básica de integração de exponenciais: para
,
porque
quando
. No nosso caso aparecem
e
. Para que ambos sejam positivos precisamos de
e
; a segunda já é automática se
. Portanto, sob a hipótese
(que garante convergência), podemos calcular cada integral separadamente.
Passo 5
Aplicando a fórmula aos dois termos:
Agora faço a álgebra para simplificar essa diferença de frações. Colocando em denominador comum:
Multiplicando pelo
que estava na frente:
Passo 6
Resumo da condição de validade: a manipulação usou
, válida quando
. Aqui isso exige
(ou, de forma mais geral,
se
for real/complexo). O enunciado pediu para
, então estamos consistentes.