Usando a definição de Transformada de Laplace, mostre que:
\mathcal{L}\left\{\operatorname{senh}(a t)\right\}=\frac{a}{s^{2}-a^{2}}, s>a

Passo 1

O que o enunciado pede: provar, usando a definição, que
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(a t)\}=\frac{a}{s^{2}-a^{2}},\quad s>a.
Informações dadas: a função a transformar é \operatorname{senh}(a t) (hiperbolic sine com parâmetro a); a definição de Transformada de Laplace será usada diretamente. O enunciado já indica a condição s>a para convergência.

Passo 2

Definição que vamos usar (aula rápida): a Transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
desde que a integral convirja. Aqui s é a variável complexa (ou real) da transformada; para que a integral do tipo \int_0^\infty e^{-\alpha t}\,dt convirja precisamos de \operatorname{Re}(\alpha)>0. Também precisamos da definição da função hiperbólica: por definição,
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Vou aplicar essas duas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Substituo \operatorname{senh}(a t) na integral da Laplace:
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(a t)\} =\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\operatorname{senh}(a t)\,dt =\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\frac{e^{a t}-e^{-a t}}{2}\,dt.
Fatorando o 1/2 e combinando exponenciais:
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(a t)\} =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\big(e^{-s t}e^{a t}-e^{-s t}e^{-a t}\big)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\big(e^{-(s-a)t}-e^{-(s+a)t}\big)\,dt.

Passo 4

Agora usamos a fórmula básica de integração de exponenciais: para \alpha>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=\left[-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{\alpha},
porque \lim_{t\to\infty}e^{-\alpha t}=0 quando \alpha>0. No nosso caso aparecem \alpha_{1}=s-a e \alpha_{2}=s+a. Para que ambos sejam positivos precisamos de s-a>0 e s+a>0; a segunda já é automática se s>a. Portanto, sob a hipótese s>a (que garante convergência), podemos calcular cada integral separadamente.

Passo 5

Aplicando a fórmula aos dois termos:
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(a t)\} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s+a}\right).
Agora faço a álgebra para simplificar essa diferença de frações. Colocando em denominador comum:
\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s+a}=\frac{s+a-(s-a)}{(s-a)(s+a)}=\frac{2a}{s^{2}-a^{2}}.
Multiplicando pelo 1/2 que estava na frente:
\mathcal{L}\{\operatorname{senh}(a t)\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2a}{s^{2}-a^{2}}=\frac{a}{s^{2}-a^{2}}.

Passo 6

Resumo da condição de validade: a manipulação usou \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=1/\alpha, válida quando \alpha>0. Aqui isso exige s>a (ou, de forma mais geral, \operatorname{Re}(s)>\lvert a\rvert se a for real/complexo). O enunciado pediu para s>a, então estamos consistentes.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{s^{2}-a^{2}},\\ s>a

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