Usando a definição \varepsilon, \delta de limite, demonstre que
\lim _{x \rightarrow 7}(2 x-5)=9

Passo 1

O enunciado pede que eu demonstre, usando a definição \varepsilon,\delta de limite, que
\lim_{x\rightarrow 7}(2x-5)=9.
Informações e o que é preciso provar (pego do enunciado):
  • A função dada é f(x)=2x-5.
  • O ponto para o limite é x\to 7.
  • O valor proposto do limite é 9.
O objetivo formal é mostrar a seguinte afirmação:
\text{para todo } \varepsilon>0 \text{ existe } \delta>0 \text{ tal que se } 0<|x-7|<\delta \text{ então } |(2x-5)-9|<\varepsilon.ã

Passo 2

Vamos manipular a expressão cujo módulo precisamos controlar. Calculo passo a passo:
(2x-5)-9 = 2x-14 = 2(x-7).
Tomando o valor absoluto:
|(2x-5)-9| = |2(x-7)| = 2|x-7|,
porque 2>0 e |c\cdot y|=|c|\,|y|.

Passo 3

A partir de |(2x-5)-9| = 2|x-7|, para que |(2x-5)-9|<\varepsilon basta garantir
2|x-7|<\varepsilon,
ou seja
|x-7|<\frac{\varepsilon}{2}.
Isto indica uma escolha natural para \delta: tomar
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Observação rápida: \delta>0 porque \varepsilon>0. Também poderíamos escolher qualquer \delta menor, mas \delta=\varepsilon/2 é a escolha mais direta.

Passo 4

Agora escrevo a prova formal no estilo \varepsilon- \delta.
Seja arbitrário \varepsilon>0. Defina \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}. Suponha que x satisfaça 0<|x-7|<\delta. Então, usando o cálculo do Passo 2,
|(2x-5)-9| = 2|x-7| < 2\delta = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, sempre que 0<|x-7|<\delta obtemos |(2x-5)-9|<\varepsilon. Isso prova exatamente a definição de limite desejada.

Passo 5

Resumo e observações didáticas:
  • A ideia foi isolar |x-7| na desigualdade que controla |f(x)-L|. Para funções lineares f(x)=mx+b com m\neq0 o mesmo truque funciona e normalmente se toma \delta=\dfrac{\varepsilon}{|m|}.
  • Intuitivamente: a função 2x-5 apenas escala a distância |x-7| por um fator 2, então para ter a imagem a menos de \varepsilon de 9 basta que x esteja a menos de \varepsilon/2 de 7.
  • Pronto: a prova \varepsilon- \delta ficou curta porque a função é linear — ótimo para a prova: memorize o padrão \delta=\varepsilon/|m| para mx+b.

Resposta

9

Exercícios relacionados