Usando a definição
de limite, demonstre que
Passo 1
O enunciado pede que eu demonstre, usando a definição
de limite, que
Informações e o que é preciso provar (pego do enunciado):
- A função dada é
. - O ponto para o limite é
. - O valor proposto do limite é
.
O objetivo formal é mostrar a seguinte afirmação:
Passo 2
Vamos manipular a expressão cujo módulo precisamos controlar. Calculo passo a passo:
Tomando o valor absoluto:
porque
e
.
Passo 3
A partir de
, para que
basta garantir
ou seja
Isto indica uma escolha natural para
: tomar
Observação rápida:
porque
. Também poderíamos escolher qualquer
menor, mas
é a escolha mais direta.
Passo 4
Agora escrevo a prova formal no estilo
-
.
Seja arbitrário
. Defina
. Suponha que
satisfaça
. Então, usando o cálculo do Passo 2,
Portanto, sempre que
obtemos
. Isso prova exatamente a definição de limite desejada.
Passo 5
Resumo e observações didáticas:
- A ideia foi isolar
na desigualdade que controla . Para funções lineares com o mesmo truque funciona e normalmente se toma . - Intuitivamente: a função
apenas escala a distância por um fator , então para ter a imagem a menos de de basta que esteja a menos de de . - Pronto: a prova
- ficou curta porque a função é linear — ótimo para a prova: memorize o padrão para .