Utilizando a ideia intuitiva de limite resolva o \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x+3}.

Passo 1

O enunciado pede claramente: calcular o valor do limite
\lim_{x\to -3} \frac{x^{2}-9}{x+3}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{2}-9}{x+3}.
  • O ponto de interesse é x=-3.
  • Quer-se o limite quando x se aproxima de -3 (por ambos os lados).

Passo 2

Ideia intuitiva de limite (uma mini-aula): quando falamos em \lim_{x\to a} f(x) queremos saber qual valor f(x) se aproxima quando x se aproxima de a, sem necessariamente precisar que f(a) esteja definido. Em palavras: “o que acontece com os valores de f(x) quando x chega cada vez mais perto de a?” Se os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de um número L, dizemos que o limite é L.
No caso de expressões racionais (frações de polinômios), frequentemente tentamos substituir x=a. Se a substituição direta der um número finito, esse é o limite. Se der uma forma indeterminada como \dfrac{0}{0}, precisamos manipular a expressão (por exemplo, fatorando) para simplificá-la e então avaliar o limite.

Passo 3

Tentativa de substituição direta (para ver se é trivial):
\text{Substituindo } x=-3:\qquad \frac{(-3)^{2}-9}{-3+3}=\frac{9-9}{0}=\frac{0}{0}.
A forma \dfrac{0}{0} é indeterminada: não nos diz o valor do limite. Isso indica que a expressão pode ter um fator comum que cancela e permite simplificar.

Passo 4

Fatoração do numerador (diferença de quadrados). Lembra a identidade
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=3:
x^{2}-9 = x^{2}-3^{2} = (x-3)(x+3).

Passo 5

Reescrevendo a função usando a fatoração:
\frac{x^{2}-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}.
Como estamos estudando o limite quando x\to -3, podemos cancelar o fator comum x+3 para x\neq -3. Após cancelar (válido para todos os x diferentes de -3) obtemos a função simplificada
g(x)=x-3 \quad\text{para } x\neq -3.
Observe: a função original e g(x) coincidem em todos os pontos próximos a -3, exceto exatamente em x=-3 (onde a original não está definida).

Passo 6

Usando a simplificação para avaliar o limite: como a simplificação deu uma expressão contínua em torno de -3, o limite quando x\to -3 é igual ao valor de g(x) em x=-3 por continuidade pontual de g. Assim:
\lim_{x\to -3}\frac{x^{2}-9}{x+3}=\lim_{x\to -3}(x-3)=(-3)-3=-6.

Passo 7

Verificação numérica intuitiva (para ficar seguro): avaliar a expressão em valores que se aproximam de -3.
x=-2,9:\quad \frac{(-2,9)^{2}-9}{-2,9+3}=\frac{8,41-9}{0,1}=\frac{-0,59}{0,1}=-5,9.
x=-3,1:\quad \frac{(-3,1)^{2}-9}{-3,1+3}=\frac{9,61-9}{-0,1}=\frac{0,61}{-0,1}=-6,1.
Esses valores mostram que, à medida que x se aproxima de -3 pela direita ou pela esquerda, a expressão se aproxima de -6. Isso confirma a conclusão algébrica.

Passo 8

Interpretação final e observação: a expressão original tem uma descontinuidade removível em x=-3 (a função não está definida lá, mas os valores próximos tendem a -6). O limite existe e é -6. Mantenha em mente: quando encontrar \dfrac{0}{0} em limites de polinômios, tente fatorar e cancelar fatores comuns — quase sempre resolve em exercícios assim.

Resposta

-6

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