Utilizando a ideia intuitiva de limite resolva o
.
Passo 1
O enunciado pede claramente: calcular o valor do limite
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Quer-se o limite quando
se aproxima de (por ambos os lados).
Passo 2
Ideia intuitiva de limite (uma mini-aula): quando falamos em
queremos saber qual valor
se aproxima quando
se aproxima de
, sem necessariamente precisar que
esteja definido. Em palavras: “o que acontece com os valores de
quando
chega cada vez mais perto de
?” Se os valores de
ficam cada vez mais próximos de um número
, dizemos que o limite é
.
No caso de expressões racionais (frações de polinômios), frequentemente tentamos substituir
. Se a substituição direta der um número finito, esse é o limite. Se der uma forma indeterminada como
, precisamos manipular a expressão (por exemplo, fatorando) para simplificá-la e então avaliar o limite.
Passo 3
Tentativa de substituição direta (para ver se é trivial):
A forma
é indeterminada: não nos diz o valor do limite. Isso indica que a expressão pode ter um fator comum que cancela e permite simplificar.
Passo 4
Fatoração do numerador (diferença de quadrados). Lembra a identidade
Aplicando com
e
:
Passo 5
Reescrevendo a função usando a fatoração:
Como estamos estudando o limite quando
, podemos cancelar o fator comum
para
. Após cancelar (válido para todos os
diferentes de
) obtemos a função simplificada
Observe: a função original e
coincidem em todos os pontos próximos a
, exceto exatamente em
(onde a original não está definida).
Passo 6
Usando a simplificação para avaliar o limite: como a simplificação deu uma expressão contínua em torno de
, o limite quando
é igual ao valor de
em
por continuidade pontual de
. Assim:
Passo 7
Verificação numérica intuitiva (para ficar seguro): avaliar a expressão em valores que se aproximam de
.
Esses valores mostram que, à medida que
se aproxima de
pela direita ou pela esquerda, a expressão se aproxima de
. Isso confirma a conclusão algébrica.
Passo 8
Interpretação final e observação: a expressão original tem uma descontinuidade removível em
(a função não está definida lá, mas os valores próximos tendem a
). O limite existe e é
. Mantenha em mente: quando encontrar
em limites de polinômios, tente fatorar e cancelar fatores comuns — quase sempre resolve em exercícios assim.